Линейные уравнения
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
3.1.6. (альтернатива). Определитель Вронского либо тождественно равен нулю, и это означает, что решения y(1), ..., y(n) линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке X, и это означает, что решения y(1), ..., y(n) линейно независимы.
Определение. Фундаментальной системой решений уравнения (3.1.6) будем называть n линейно независимых решений y(1), ..., y(n) уравнения (3.1.6), а соответствующую им по формуле (3.1.7) матрицу W{x) будем называть фундаментальной матрицей.
На основании теоремы 3.1.5. можно дать другое (эквивалентное) определение фундаментальной матрицы.
Определение. Решение W(x) уравнения (3.1.8), для которого ?(х} отлично от нуля всюду на X, называется фундаментальной матрицей.
Теорема 3.1.7. Линейная однородная система уравнений имеет фундаментальную матрицу.
В силу теоремы 3.1.6. достаточно взять произвольную матрицу а = const с отличным от пуля определителем и задать для W начальное условие W (x0) = a.
Теорема 3.1.8. Если W (x) - фундаментальная матрица, то любое решение у(х) уравнения (3.1.6) представимо в виде
(x) = W (x) C, (3.1.15)
где С - некоторый постоянный столбец.
Доказательство.
Пусть y (x0) = y0. Определим С уравнением W (x0) C = у0, которое разрешимо в силу ? (x0) 0. Построим (х) = W (x) C. Так как (xо) = W(x0) C = y0, то в силу теоремы единственности у (х) (х) = W (x) C, что и требовалось.
Замечание. На языке линейной алгебры теоремы 3.1.7. и 3.1.8. означают, что, пространство решений уравнения (3.1.6) n-мерно.
Построим решение уравнения (3.1.6), удовлетворяющее условиям (3.1.4), выразив с помощью W (x) величину С через у0. Имеем
(x0) = W (x0) C = y0,
откуда
С = W- 1 (x0) у0
и, следовательно,
y (x) = W (x) W- 1 (x0) y0.
Матрицу (х, х0) = W (х) W- 1 (х0), являющуюся функцией двух переменных х и x0, назовем импульсной матрицей, или матрицантом. В силу теоремы 3.1.3. (х, х0) как функция х удовлетворяет уравнению (3.1.8). Кроме того, очевидно, что
(х, х0) = E.
Таким образом, справедлива
Теорема 3.1.9. Решение задачи (3.1.6), (3.1.4) имеет вид
(x) = (x, x0) y0, (3.1.16)
где матрица (х, x0) удовлетворяет по аргументу х матричному уравнению (3.1.8) и условию (х, x0) = Е.
Неоднородное уравнение. Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (3.1.3).
Теорема 3.1.10. Если W (х) - фундаментальная матрица, а (х) - частное решение неоднородного уравнения (3.1.3), то любое решение у (х) уравнения (3.1.3) представило в виде
(x) = W (x) C + (x), (3.1.17)
где С - некоторый постоянный столбец.
Доказательство точно такое же, как в случае уравнения n-го порядка, и мы его опускаем.
Построим частное решение (х), удовлетворяющее нулевым начальным условиям (x0) = 0. Будем искать его в виде
(x) = W (x) C (x),
где С (x)-неизвестный столбец. Это фактически просто замена переменных. Подставляя (х) в (3.1.3), получим
W' C + W C' = AWC + f.
Так как W удовлетворяет (3.1.8), то W - AW = 0 и, следовательно, WC' = f. Отсюда C' = W- 1 f. А так как (x0) = W(x0) C(x0) = 0, то С (х0) = 0 и, следовательно,
Таким образом,
и справедлива
Теорема 3.1.11. Частное решение (х)'уравнения (3.1.3), удовлетворяющее условию (х0) = 0, имеет вид
(3.1.18)
где (х, x) - импульсная матрица, или матрицант, - решение матричного уравнения (3.1.8), удовлетворяющее условию (x, x) = E.
Замечания. 1. Изложенный метод построения частного решения системы линейных уравнений фактически является вариантом метода вариации постоянных, который для одного уравнения использовался в гл. 1. п. 1.1.
2. В силу принципа суперпозиции решение у (х) задачи (3.1.3), (3.1.4) имеет вид
(3.1.19)
.2 Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Пусть в (3.1.6) А - постоянная матрица,
' = A y, А = const. (3.2.1)
В этом случае построение фундаментальной системы решений, или фундаментальной матрицы сводится к алгебраическим операциям.
Будем искать частное решение системы (3.2.1) в виде aеlx, где l - неизвестный параметр, a - неизвестный постоянный столбец. Подставляя это выражение в (3.2.1), получим laelx = Aaelx. Отсюда делаем вывод, что a должно быть решением алгебраической системы уравнений
(А - lЕ) a = 0. (3.2.2)
Для того чтобы a было нетривиальным решением, нужно потребовать, чтобы
(А - lЕ) = 0. (3.2.3)
Это уравнение является алгебраическим уравнением степени n и называется характеристическим уравнением уравнения (3.2.1).
Пусть l1, …, ln - простые корпи характеристического уравнения (3.2.3). Каждому li отвечает a(i) 0 (собственный вектор матрицы А), который находится из (3.2.2), где положено l = li. В качестве компонент a(i) можно взять, например, алгебраические дополнения к одной из строк, определителя Det (А - liЕ).
Теорема 3.2.1. Пусть l1, …, ln - простые корни характеристического уравнения (3.2.3) и пусть a(i) - решение (нетривиальное) уравнения (А - liЕ) a = 0. Тогда столбцы a(i) (i = 1, ..., n) образуют фундаментальную систему решений уравнения (3.2.1).
Доказательство:
Проводится но схеме, которая была использована в гл. 2 п. 2.4. Предположим, что решения a(i) линейно зависимы:
. (3.2.4)
Отсюда имеем
Дифференцируя это равенство, приходим к соотношению типа (3.2.4), содержащему уже n - 1 слагаемых. Повторяя операцию, приходим в конце концов к равенству C1 a(i) = 0. Так как хотя бы одна из компонент a(i), отлична от нуля, то получаем отсюда C1 = 0, что противоречит (3.2.4).
Обратимся к общему случаю. Пусть ха?/p>