Линейные уравнения
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
и различны, то беря линейную комбинацию
где (1.2.23)
можно получит любое решение уравнения (1.2.21), определяя С1,…,Cn из начальных условий
у(t0) = y10, у?(t0) = у20,…, у(n-1)(t0) = уn0 (1.2.24)
(сравнивая с (1.2.7) и (1.2.5)), т.е. формула (1.2.23) является общим решением уравнения (1.2.21).
Если некоторые lk комплексные, то утверждение 1 остаётся в силе, но определяемые из (1.2.24) константы Ck будут комплексными и решение будет представлено в комплексной форме. Чтобы получить решение в действительной форме, в наборе решений вместо пары решений и , отвечающих двум комплексно сопряжённым корням l =piq (так как характеристическое уравнение имеет действительные коэффициенты, то вместе с l = p + iq корнем будет также у=p-iq), можно взять пару действительных решений Re y = ept соsqt и Im y = еpt sinqt (сравнивая с (1.2.9)).
Если l - кратный корень характеристического уравнения (1.2.22) кратности m, то ему отвечает m решений еlt, telt,…, tm-1e lt (обобщение случая в), где m = 2).
Объединяя все случаи, можно сформулировать следующее правило:
Пусть характеристическое уравнение (1.2.22) имеет r действительных корней lк кратности mк, а прочие являются комплексно сопряжёнными вида ll=pl+iql и кратности ml.
Тогда общее решение уравнения (1.2.21) может быть записано в виде
(1.2.25)
где R(t), Рl(t),Q(t)-многочлены степени m-1, m-1, m-1 соответственно, коэффициенты которых произвольны. Эти коэффициенты однозначно определяются начальными условиями (2.24).
Точно так же можно, обобщая факты, полученные для уравнения второго порядка, сформулировать правило построения частного и общего решений неоднородного уравнения
0у(n) + 1у(n-1) + … + nу = S(t)et (1.2.26)
где S(t) - многочлен степени s,- постоянная, вообще говоря, комплексная.
Пусть в уравнении (1.2.26) не совпадает ни с одним корнем lk характеристического уравнения (1.2.22) (так называемый нерезонансный случай).
Тогда частное решение уравнения (1.2.26) можно записать в виде
у = Т(t)еt , (1.2.27)
где Т(t) - многочлен той же степени, что и S(t).
Коэффициенты многочлена Т(t) определяются из алгебраических уравнений, полученных подставкой (1.2.27) в (2.26) и приравниванием членов с одинаковыми степенями t (сравнивая с (1.2.12), (1.2.13); в этом простейшем случае S(t) является константой А, т.е. многочленом нулевой степени, а многочлен Т(t) также является константой: Т =).
Если совпадает с корнем характеристического уравнения l, имеющим кратность m (так называемый резонансный случай), то частное решение (1.2.26) следует искать в виде
у = Т(t) tmet , (1.2.28)
где Т(t) - многочлен той же степени, что и S(t). Коэффициенты Т(t) по-прежнему определяются подстановкой (1.2.28) в уравнение (1.2.26) (сравнивая с (1.2.19), где появляется множитель t в соответствии с кратностью m=1 корня w0)
Если = a + ib комплексно, то действительная (соответственно мнимая) часть решения (2.28) является решением уравнения с правой частью S(t)eat соsat (соответственно S(t)eatsin at).
Общее решение неоднократного уравнения (1.2.26) представляется в виде суммы общего решения (1.2.25) однородного уравнения (1.2.21) и частного решения (1.2.27) или (1.2.28) неоднородного уравнения (1.2.26) (сравнивая с (1.2.15)).
2. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ n-го ПОРЯДКА
.1 Общие свойства линейного уравнения n-го порядка
Обратимся к уравнению (2.1.1).
Если в рассматриваемой области изменения независимого переменного (x)0, то поделив на (x) и обозначая полученные коэффициенты и правую часть вновь через (x),…, (x), f(x), будем иметь
(2.1.1)
Определение. Уравнение (2.1.1) называется однородным, если , в противном случае - неоднородным. Пусть и непрерывны на некотором интервале X (X может быть как конечным интервалом так и бесконечным, например, ()). Общая теорема существования и единственности гарантирует, что на некотором сегменте , принадлежащем X, существует единственное решение у(х) уравнения (3.1), удовлетворяющее начальному условию
(2.1.2)
Для уравнения (2.1.1) можно доказать более сильное утверждение.
Теорема 1.1. Если , непрерывных на X, то решение начальной задачи (2.1.1), (2.1.2) существует и единственно всюду на X.
Так как начальная задача для уравнения n-го порядка является частным случаем начальной задачи для системы n уравнений первого порядка, то теорему 1.1 можно получить как частный случай аналогичного утверждения для системы линейных уравнений, которая имеет вид
(2.1.3)
а соответствующие начальные условия -
(2.1.4)
Теорема 1.2. Если () непрерывны на X, то решение задачи (2.1.3) и (2.1.4) существует и единственно на X.
Доказательство:
Достаточно доказать, что решение существует и единственно на любом отрезке . Теорема существования и единственности гарантирует решение на некотором отрезке , как уже указывалось выше. Точку можно принять за новую начальную точку и получить решение на большем отрезке > и т.д. Пусть, где, - максимальный полуинтервал, на котором существует единственное решение задачи (2.1.3) и (2.1.4). Возьмём произвольную последовательность . Убедимся, что существует
Пусть
Тогда на любом отрезке справедливо неравенство
.
Введя , получим
,
и, следовательно для любогосправедливо неравенство
,
а тогда справедливо также неравенство
.
Пользуясь этим и учитывая, что , получили
<e при и любом m.
Отсюда по критерию Коши делаем вывод о