Линейные уравнения
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?обой общее решение уравнения (1.2.3).
б) a2 - 4k < 0. Физически это соответствует достаточно слабому трению (сопротивлению) среды. В этом случае l2 и l1 являются комплексно сопряжёнными: l2 = l и
где .
Пользуясь тождеством (1.2.6), нетрудно видеть, что у1 = Rе у(1), у2 = Im у(1) также являются решениями уравнения (1.2.2). Действительно,
откуда, приравнивая нулю отдельно вещественную и мнимую части, получим требуемое. Возьмём линейную комбинацию у1 и у2:
(1.2.9)
Нетрудно убедиться, что, как и прежде, С1 и С2 однозначно определяются условиями (1.2.5) и, таким образом, (1.2.9) является общим решением уравнения (1.2.3). Заметим, что в рассматриваемом случае в качестве общего решения можно по-прежнему взять (1.2.7), но при этом постоянные С1 и С2 будут комплексными.
Решение задачи (1.2.5):
(1.2.10)
описывает колебательный процесс. Колебания затухают по закону . С ростом t это решение также стремится к положению равновесия у = 0.
Если a = 0 (сопротивление отсутствует), то получаем периодические колебания с частотой w0=,
(2.11)
в) a2-4 k = 0. В этом случае описанный способ даёт только одно решение у(1) = elt , где l= - . Нетрудно, однако, непосредственно проверить, что в этом случае решением является также у(2) = telt . Беря линейную комбинацию этих двух решений, можно удовлетворить условиям (1.2.5). Практически l1 и l2 не бывают в точности равны, но такое решение описывает математическую абстракцию, соответствующую случаю близких l1 и l2.
Рассмотрим теперь вынужденные колебания под действием периодической вынуждающей силы. Они описываются уравнением (1.2.2), где f = А соs wt (А, w = соnst). Сопоставим этому уравнению следующее уравнение с комплексной неизвестной функцией z:
(1.2.12)
Подставляя в это уравнение и приравнивая отдельно действительные и мнимые части, получим, что 1, удовлетворяет уравнению (1.2.2), в котором f = А соs wt, а - уравнению (1.2.2), в котором f = А sin wt. Таким образом, для получения требуемого решения уравнения (1.2.2) нужно найти решение уравнения (1.2.12) и взять его действительную часть.
Решение уравнения (1.2.12) естественно искать в виде
, (1.2.13)
где - неизвестная заранее постоянная. Подставляя (1.2.13) в (1.2.12) и сокращая на еiwt , найдём
и, следовательно,
(1.2.14)
(1.2.14) представляет собой частное решение уравнения (1.2.2), в котором f = А соs wt, имеющее периодический характер с частотой, равной частоте w вынуждающей силы. Это решение, однако, не удовлетворяет (1.2.5). Добавим к нему линейную комбинацию решения однородного уравнения (1.2.3) (для определённого a2 - 4k < 0):
(1.2.15)
Пользуясь (1.2.6), убеждаемся, что это выражение является решением того же неоднородного уравнения (1.2.2), пользуясь произволом выбора С1 и С2 можно подобрать их так, чтобы удовлетворить (1.2.5). Действительно, С1 и С2 находятся из алгебраической системы уравнений, отличающейся от той, которая была при получении (1.2.10), только неоднократными членами. Решение, удовлетворяющее (1.2.5), имеет вид
а, (1.2.15), таким образом является общим решением неоднородного уравнения (1.2.2), где f = Асоswt. Из (1.2.15) видно, что общее решение неоднородного уравнения представляет собой сумму частного решения того же неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения.
С ростом t в формуле (1.2.16) все члены, кроме первого затухают и остаются только вынужденные колебания 1.
Обратим внимание на важное явление - так называемое явление резонанса. Решение1 теряет смысл, если в исходной системе нет трения (a= 0) и частота w вынуждающей силы равна частоте w0=, с которой колеблется маятник без воздействия вынуждающей силы в (1.2.14), так как в знаменателе появляется нуль.
Чтобы найти частное решение в этом случае, т.е. частное решение уравнения
у"+kу = Асоsw0t, (1.2.17)
перейдём снова к комплексной форме
z"+ kz = Аеiw0t (1.2.18)
Обратим внимание на то, корни характеристического уравнения равны l1,2 = iw0. Попытаемся искать z в виде
(1.2.19)
Подставляя (1.2.19) в (1.2.18), определим a и получим
даёт частное решение уравнения (1.2.17):
(1.2.20)
Так как практически полное отсутствия трения и точное равенство w и w0 не осуществляются, то решение такого типа практически не реализуется. Реализуется (1.2.14), но если частота w близка к w0, а w мало, то знаменатель в (1.2.14) мал и амплитуда решения велика. Таким образом, физически явление резонанса состоит в том, что при w ~ w0 и малом a наблюдается заметное увеличение амплитуды вынужденных колебаний (1.2.14).
Математически же случаем резонанса будем называть такой случай, когда в (1.2.2) , где S(t) - многочлен, а совпадает с корнем характеристического уравнения. В рассмотренном выше уравнении (1.2.18) = iw0, т.е. совпадает с одним из корней характеристического уравнения.
Итак, на примере уравнения второго порядка выявлен ряд характерных свойств линейного уравнения с постоянными коэффициентами. Оказывается, эти закономерности имеют общий характер. Сформулируем их для уравнения порядка и как естественное обобщение того, что наблюдалось для уравнения второго порядка.
Рассмотрим сначала однородное уравнение
(1.2.21)
Сопоставим (1.2.21)его характеристическое уравнение (сравним с (1.2..4)).
ln+ln-1+...+ = 0 (1.2.22)
Это алгебраическое уравнения порядка и имеет корни
Если все lk действительны