Линейные уравнения

Дипломная работа - Математика и статистика

Другие дипломы по предмету Математика и статистика

т отвечать несколько групп решений вида (3.2.10) по числу отвечающих этому l собственных векторов, по общее число решений в этих группах равно кратности m корня l. Таким образом, действительно, линейная комбинация решении, отвечающих данному l, имеет вид (3.2.6), где независимых констант будет m, так как число решений типа (3.2.10), отвечающих этому l, есть m. Заметим, что, как видно из (3.2.9), (3.2.10), старшая степень многочленов в (3.2.6), вообще говоря, меньше, чем т.е. m - 1. При практическом вычислении фундаментальной системы решений можно пользоваться (3.2.9), предварительно найдя все собственные и присоединенные векторы, но проще поступать, как указано выше, подставляя (3.2.6) в исходное уравнение (3.2.1) и выделяя m свободных неизвестных Сkj.

 

Заключение

 

В ходе дипломной работы была изучена и проанализирована теория теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При изучение данной теории били рассмотрены следующие разделы: линейные обыкновенные уравнения первого, второго и n-го порядков; основные свойства линейного обыкновенного уравнения второго порядка и общие свойства уравнения n-го порядка; однородные и неоднородные уравнения n-го порядка и приложение в котором показаны методы решения линейных уравнений и физических задач, решаемых с использованием линейных уравнений.

По результатом данной работы можно сделать вывод, что в настоящее время разработка методов решения этих задач для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений продвинута на столько, что зачастую исследователь имеющий дело с этой задачей не занимается выбором метода ее решения, а просто обращается к стандартному алгоритму.

Подводя итог, следует заметить, что данная дипломная работа может быть использована для подготовки материалов методического пособия по этой теме.

 

 

Библиография

 

  1. Бибиков Ю.Н.. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Высш. Шк., 1991.-303 с.
  2. Виленкин Н.Я., Доброхотова М.А., Сафонов А.Н. Дифференциальные уравнения. - М.: Просвещение, 1984. - 175 с.
  3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление.-М.:Наука,1970.-576 с.
  4. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука,1983.
  5. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А.. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. - М.: Высш. Шк., 1989.-383 с.
  6. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.-М.:Гостехиздат,1959.
  7. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1985.-230 с.
  8. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Мир, 1970.

 

 

Приложение

 

I Найти общее решение уравнений:

 

а) y?ў?ў- 7y?ў + 12y = 0.

 

Решение:

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни

 

?l2-7?l+12=0

 

т.к. корни характеристическое уравнение различны, то общее решение данного уравнения имеет вид

 

Ответ:

б) y?ў?ў + 4y?ў + 13y = 0

 

Решение:

Характеристическое уравнение для данного уравнения имеет вид

 

?l2 - 4?l +13 = 0.

 

т.к. корнями характеристическое уравнение являются комплексно сопряженные числа, то общее решение заданного уравнения имеет вид

 

y = e?ax(C1 cos ?bx +C2 sin ?bx),

где ?a = - 2 и ?b = 3 Откуда= e-2x(C1 cos 3x +C2 sin 3x)

Ответ: y = e-2x(C1 cos 3x +C2 sin 3x)

в) y?ў?ў- 6y?ў + 9y = 0

 

Решение :

Составим характеристическое уравнение

 

?l2 - 6?l + 9 = 0, (?l - 3)2 = 0, ?l1,2 = 3

 

т.к. корнями характеристическое уравнение имеет корень второй кратности, то общее решение для данного уравнения имеет вид

 

y = (C1 + C2 x) e?lx

?Ю y = (C1 + C2 x) e3x

Ответ: y = (C1 + C2 x) e3x

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указаным начальным условиям:

 

а)y?ў?ў - 5y?ў + 6y = 0, y(0) =, y?ў(0) =1.

 

Найдем общее решение исходного уравнения, для этого составим характеристическое уравнение и найдем его корни

 

?l2 - 5?l + 6 = 0

= C1e2x + C2e3x

 

Найдем y?ў и значение функций y(0) и y?ў(0)

?ў = (C1e2x + C2e3x)?ў = 2C1e2x + 3C2e3x(0) = C1e2?Ч0 + C2e3?Ч0 =C1 + C2

y?ў(0) = 2C1e2?Ч0 + 3C2e3?Ч0 = 2C1 + 3C2

 

Исходя их начальных условий составим систему двух уравнений

 

 

Подставим в формулу общего решения, вместо С1 и С2 их значения и найдем частное решение

 

y = e2x + 0 ?Ч e3x = e2x

Ответ: y = e2x

б)y?ў?ў + 4y = 0, y= - 4, y?ў= 2

?l2 + 4 = 0 ?l2 = - 4?l1,2 =? 2i= C1 cos 2x + C2 sin 2x?ў (C1 cos 2x + C2 sin 2x)?ў = - 2C1 cos 2x + 2C2 sin 2x= C1 cos+ C2 sin= C1 cos ?p+ C2 sin ?p = C1(-1)+C2 ?Ч ?n = - C1

y?ў= - C1 sin+ C2 cos= - 2C1 ?Ч ?n +2C2(-1) = - 2C2

y4 cos 2x - sin 2x

Ответ: y = 4 cos 2x - sin 2x

в)y?ў?ў - 6y?ў + 9y = 0, y?|0?| = 0, y?ў?|0?| = 2

?l2- 6?l + 9 = 0 (?l-3)2 = 0 ?Ю ?l1,2 = 3.= (C1 + C2x)e3x?ў =((C1 + C2x)e3x)?ў = C2e3x + 3(C1 + C2x)e3x?|0?| = (C1 + C2 ?Ч 0)e3 ?Ч0= C1?ў ?|0?| = C2e3 ?Ч 0 + 3 (C1 + C2 ?Ч?n)e3 ?Ч 0 =C2 + 3C1

= (0 + 2x)e3x = 2xe3x

Ответ: y = 2xe3x

 

III. Найти общее решение следующих уравнений

 

y?ў?ў + 4y?ў +y = 4

 

Найдем общее решение однородного уравнения

 

y?ў?ў + 4y?ў +y = 0.

?l2 + 4?l +1 = 0 ?l1,2 = -

 

Общее решение будет имеет вид

 

 

y = C1e?lx + C2e?l2X00 = C1

 

Общее решение неоднократного уравнения определяется формулой

 

yон = yоо+yчн

 

Для нахождения общего решения неоднократного уравнения, осталось найти частное решение неоднократного уравнения

Частное решение имеет вид

 

yчн = b0

y?ўчн = 0, y?ў?ўчн = 0

 

Подставляя в исходное уравнение значения частного решения и производных получим частное