Линейные уравнения
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
решение неоднократного уравнения, т.е.
+ 4 ?Ч 0 + b0 = 4 ?Ю b0 = 4чн = 4.он = С1
Ответ: yон = С1
)y?ў?ў - 6y?ў + 9y = x2.
?l2 + 6?l + 9 = 0 ?Ю ?l1,2 = 3 y00 = (C1 +C2x) e3xчн =bo +b1x + b2x2
y?ўчн = b1 + 2b2x y?ў?ўчн = 2b22 - 6b1 - 12b2x + 9b0 + 9b1x + 9b2x2 = x2
чн =он = (C1 + C2)e3x + (3x2 + 4x +2)
Ответ: yон = (C1 + C2)e3x + (3x2 + 4x +2)
3)y?ў?ў +6y?ў +9y = 12e-3x
?l2 + 6?l +9 = 0 ?l1,2 = - 3оо = (C1 + C2)e3xчн = b0x2e-3x?ўчн = 2 b0x2e-3x- 3b0x2e-3x?ў?ўчн = 2 b0e-3x - 6 b0xe-3x - 6 b0xe-3x + 9 b0x2e-3x = 2 b0xe-3x - 12 b0xe-3x + 9 b0x2e-3x
b0x2e-3x - 12 b0xe-3x + 2 b0xe-3x + 12 b0xe-3x - 18 b0x2e-3x + 9 b0x2e-3x =12e-3x0 = 12 ?Ю b0 = 6чн =6 x2e-3xон = (C1 + C2x) e-3x +6 x2e-3x
Ответ: yон = (C1 + C2x) e-3x +6 x2e-3x
4)y?ў?ў +6y?ў - 3y = 12 cos 3x
?l2 + 6?l - 3 = 0 ?l1,2 = - 3 ? оо= чн=b0 cos 3x + a0 sin 3x?ўон=-b0 sin 3x + a0 cos 3x, y?ў?ўчн= - b0 cos 3x - a0 sin 3x
b0 cos 3x - a0 sin 3x - 6 b0 sin 3x + 6a0 cos 3x - 3b0 cos 3x - 3a0 sin 3x = 12 cos 3x
yчн= - cos 3x +sin 3x
Ответ: yчн= - cos 3x +sin 3x
)y?ў?ў + 4y?ў = 4xe-4x
?l2 + 4?l = 0 ?l = 0, ?l = - 4оо = C1 + C2e- 4xчн = x(b0 + b1x)e-4x?ўчн = b1xe-4x + (b0 + b1x)(e-4x - 4xe-4x) = b1xe-4x + b0e-4x - 4 b0xe-4x + b1xe-4x- 4 b1x2e-4x = b0e-4x + 2 b1xe-4x - 4 b0xe-4x - 4 b1x2e-4x?ў?ўчн = - 4b0e-4x + 2b1e-4x - 8 b1 xe-4x - 4 b0e-4x + 16 b0xe-4x- 8 b1xe-4x +
+ 16b1x2e-4x = - 8 b0e-4x + 2 b0e-4 - 16 b1xe-4x +16b0xe-4x + 16 b0x2e-4x
yчн = x(--x) e- 4x = - (x + 2x2) e- 4xон = C1 + C2e- 4x - e- 4x (x + 2x2)
Ответ: yон = C1 + C2e- 4x - e- 4x (x + 2x2)
6)y?ў?ў + y = 2x - 1 + e5x
?l2 - 1 = 0 ?l = ? 1 ?Ю yоо = C1ex + C2e- xоо = C1 + C2e- 4xчн = b0 + b1x + b2e5x?ўчн = b1 + 5b2e5x?ў?ўчн = 0 + 25 b2e5x2e5x - b0 - b1x + b2e5x = 2x - 1+ e5x
yон = C1ex + C2e- x -2x + 1 + e5x
Ответ: yон = C1ex + C2e- x -2x + 1 + e5x
IV. Найти решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям:
1)y?ў?ў + y = 3x,y(1) - 1,y?ў(1) = 0
?l2 - 1 = 0 ?l = ? 1оо = C1ex + C2e- xчн = b0 + b1x?ўчн = b1, y?ў?ўчн = 0
- b0 + b1x =3x
он = C1ex + C2e- x -3xчн (1) = C1e + C2e- 1 -3?ўон = C1ex - C2e- x -3?ўон (1) = C1e - C2e- 1 -3
Ответ:
Правило отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от вида правой части уравнения
вид правой частиКорни характеристического уравнениячастного решения уравненияАm(x) - многочлен степени mЧисло 0 не является корнем характеристического уравненияZ = Pm(x)Число 0 является корнем характеристического уравнения кратности sZ = xs Pm(x)Am(x) ?Ч e?axЧисло Х не является корнем характеристического уравненияZ = Pm(x)e?axЧисло Х является корнем характеристического уравнения кратности sZ = Pm(x) xse?axAm(x) cos ?b(x) +
+ Bm(x) sin ?b(x)Число ? ?bi не является корнем характеристического уравненияZ =Pm(x) cos ?bx + Qm(x) sin ?bxЧисло ? ?bi является корнем характеристического уравнения кратности sZ = xs(Pm(x) cos ?bx +
+ Qm(x) sin ?bx)e?ax (Am(x) cos ?bx +
+ Bm(x) sin ?bx)Число ?a ? i ?b не является корнем характеристического уравненияZ = e?ax (Pm(x) cos ?bx
+ Qm(x) sin ?bx)Число ?a ? i ?b является корнем характеристического уравнения кратности sZ = e?ax (Pm(x) cos ?bx
+ Qm(x) sin ?bx) xs
V Задача. Узкая длинная трубка вращается с постоянной угловой скоростью ?w вокруг перпендикулярной ей вертикальной оси. В начальный момент на расстоянии ?a?n от оси внутри трубки находится шарик массы m. Считая, что в начальный момент скорость шарика относительно трубки была ровна нулю, найти закон движения шарика относительно трубки.
Решение:
Направим ось координат ?nx по оси трубки, приняв точку ?n за начало. Обозначим через x = x(1) координату шарика (точку М) в момент времени t. Так как по условию шарик движется по трубке без трения, то на него действует только центробежная сила fc = m?w2x. Поэтому по второму закону Ньютона для относительного движения имеем mx?ў?ў =m?wx2 или x?ў?ў - ?w2x = 0.
К этому уравнению присоединим начальные условия:
x (t0) = a0, x?ў(t0) = 0
Нормальная фундаментальная система решений уравнения имеет вид:
Использовав её, получим
x(t) = a0 ch ?w (t - t0)
Ответ: x(t) = a0 ch ?w (t - t0)
VI Задача. Один конец пружины закреплен неподвижно, а к другому прикреплен груз массы m, на который действует периодическая возмущающая сила H sin (?nt + ?j), направленная по вертикали. При отклонении груза на расстояние x от положения равновесия пружина действует на него с силой kx (упругая сила пружины), направленной к положению равновесия; при движении груза со скоростью ?n сила сопротивления среды ровна b?u (H > 0,?n > 0, k > 0, 0 < b < m, ?j - постоянные). Найти движение груза в установившемся режиме и частоту вращающийся силы ?nрез (резонансную частоту), при которой амплитуда колебаний груза в установившимся режиме является наибольшей. Найти эту амплитуду.
Решение:
Пусть x = x(t) - отклонение груза от положения равновесия в момент времени t. Согласно второму закону Ньютона, , от суда для определения для определения закона движения x = x(t) груза получаем линейное неоднородное уравнение вида:
Поскольку p > 0, q > 0, а установившиеся движение груза существует и описывается решением данного уравнения вида:
Частоту ?nрез, при которой амплитуда А(?n) колебаний груза в установленном режиме достигает наибольшего значения, можно найти из условия минимума функций
?y(?n) = (q -?n2)2 + p2?n2. Имеем
?y?ў(?n) = - 4?n (q - ?n2)2 +2p2?n = 0, откуда
?nрез =
амплитуда колебаний груза при резонансе такова:
Ответ:
Пример: Найти фундаментальную систему решений
1 = 4y1 - y2,y2 = 3y1 + y2 - y3,y3 = y1 + y3. (1)
Решение:
Характеристическое уравнение, отвечающее этой системе, имеет корень l1 = 2 кратности m1 = n = 3.
(2)
Подставляя его в (1), сокращая на е2x и приравнивая члены с одинаковыми степенями x, получим следующие 9 уравнений для определения 9 коэффициентов:
(3)
Заранее известно, что ранг это