Линейные алгебры малых размерностей
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины
Факультет математический
Кафедра алгебры и теории чисел
Курсовая работа
Линейные алгебры малых размерностей
Гомель 2010
Содержание
Введение
.Основные определения
.Алгебры. Ассоциативные алгебры
.Алгебры Ли
.Нильпотентные алгебры Ли
.1 Эквивалентность различных определений нильпотентности
.Разрешимые алгебры Ли
.Описание алгебр Ли малых размерностей
.Заключение
Список использованных источников
Введение
Алгебры Ли прочно вошли в математику в конце прошлого века. Их теория благодаря вниманию многих выдающихся математиков обогатилась целым рядом тонких и красивых результатов, влияние которых простирается далеко за пределы алгебры. Поэтому отсутствие книги учебного характера по теории алгебр Ли давно воспринималось как досадный пробел в математической литературе. Отчасти это объяснялось тем фактом - благоприятным во всех других отношениях, - что теории групп Ли и алгебр Ли продолжительное время развивались параллельно, а преобладание методов анализа и топологии лишь способствовало укоренившейся привычке смотреть на аппарат алгебр Ли прежде всего как на полезное и мощное средство линеаризации теоретико-групповых задач. Алгебраические же основания теории оставались до некоторых пор в тени, созревая на страницах журнальных статей, особенно многочисленных за последние два десятилетия.
Алгебры Ли представляют собой один из классических объектов современной математики. Их теория находится в особом положении как по полноте структурной информации, по крайней мере, в классе конечномерных алгебр Ли, так и по многочисленным связям с другими разделами математики, среди которых следует упомянуть теорию групп Ли.
Теория представления алгебр Ли до сих пор не имеет, по существу, самостоятельного статуса. Это связано, например, с необозримостью задачи классификации простых модулей над алгебрами Ли. Развитие теории представлений алгебр Ли традиционно связано с теорией представления групп Ли.
Теория алгебр Ли выросла из теории Ли непрерывных групп. Основным результатом последней является сведение локальных задач, относящихся к группам Ли, к соответствующим задачам теории алгебр Ли, т. е. к задачам линейной алгебры. Каждой группе Ли сопоставляется алгебра Ли над полем вещественных или комплексных чисел, и устанавливается соответствие между аналитическими подгруппами группы Ли и подалгебрами ее алгебры Ли, при котором инвариантным подгруппам соответствуют идеалы, абелевым подгруппам - абелевы подалгебры и т. д. Изоморфизм алгебр Ли эквивалентен локальному изоморфизму соответствующих групп Ли.
В последнее время введение соответствующих алгебр Ли оказалось полезным при изучении двух других разделов теории групп. Первым из этих разделов является теория свободных групп, которую можно изучать при помощи свободных алгебр Ли, пользуясь методом, впервые предложенным Магнусом. Хотя эта связь не такая тесная, как в теории Ли, применение алгебр Ли привело к важным результатам относительно свободных групп и других классов абстрактных групп. В частности, необходимо отметить результаты по так называемой ослабленной проблеме Бернсайда: ограничены ли порядки конечных групп, имеющих фиксированное число r образующих и удовлетворяющих соотношению хm=1, где m - фиксированное положительное целое число? Стоит указать, что важную роль в этих приложениях к теории абстрактных групп играют алгебры Ли простой характеристики.
Наряду с группами важную роль в теории симметрий играют такие алгебраические объекты, как ассоциативные алгебры и алгебры Ли.
1.Основные определения
Кольцо R - это непустое множество с операциями сложения и умножения, причем относительно сложения R - абелева группа, и обе операции связаны законами дистрибутивности
x(y+z)=xy+xz, (x+y)z=xz+yz,
где x,y,z - произвольные элементы из R.
Алгеброй называют линейное пространство, в котором кроме сложения и умножения на числа определена операция умножения элементов пространства, причем умножение и сложение удовлетворяют законам дистрибутивности
a(?b+?c)=?a?+?ac, (?b+?c)a=?ba+?ca,
где ?, ? - числа, а a,b,c - элементы алгебры.
Если линейное пространство алгебры рассматривается над полем вещественных (комплексных) чисел, то алгебру называют вещественной (комплексной ).
Допустим, что в некотором кольце К для любых трех элементов x,y,z справедливо соотношение
x(yz)+y(xz)+ z (xy) =0.
В этом случае мы скажем, что в К выполняется тождество Якоби.
Алгеброй Ли называется векторное пространство L с умножением (билинейным отображением (?1, ?2) >[ ?1, ?2] произведения L L в L), которое антисимметрично
[ ?1, ?2]+ [ ?2, ?1]=0
и удовлетворяет тождеству Якоби
[ ?1, [?2, ?3]] + [ ?2, [?3, ?1]] +[ ?3, [?1, ?2]] =0
для всех ?1, ?2, ?3 L.
Пусть L есть К - алгебра Ли V - некоторый К - модуль. Мы говорим, что V является К - модулем, если существует К - билинейное отображение L V > V, удовлетворяющее следующей аксиоме ( в записи которой x,y L, v V, yv - образ пары (y,v) при данном билинейном отображении):
(xy)v=x(yv)-y(xv).