Линейные алгебры малых размерностей
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
1) (2) (3).
Докажем теперь, что из (1) следует (4). Действительно, докажем по индукции, что для любой расстановки скобок ? и любых х1х2…хl+1 L выполняется a= (х1х2…хl+1 )? Ll+1 . Основание индукции при l=0 очевидно. Предполагая утверждение доказанным при меньших значениях l, заметим, что для некоторого s<l имеем a= (х1х2…хs )?(хs+1…хl+1 )?, где ? и ? - некоторые расстановки скобок. По предположению индукции (х1х2…хs )? Ls , а (хs+1…хl+1 )? Ll-s+1. Согласно замечанию в начале доказательства а Ls Ll-s+1 Ll+1. Значит, предполагая (1) выполненным, получим, что для любых х1х2…хc+1 и любой расстановки ? имеем в L
a= (х1х2…хс+1)?=0.
Заметим теперь, что из определения с очевидностью следует, что для любого l идеал Ll является К - подмодулем, порожденным всевозможными правонормированными произведениями
х1х2 …хl , xi L , i=1,2,…,l.
Поэтому, если хотя бы одно из произведений х1…хс отлично от нуля, то . Lс {0}. Понятно, далее, что (4) (5) (1). Теорема доказана.
Алгебра Ли, удовлетворяющая эквивалентным условиям данной теоремы, называется нильпотентной ступени с.
5.Разрешимые алгебры Ли
Определим неассоциативный одночлен ?l ( x1,…,x2l) индукцией по l, полагая ?0 (х)=х и
?l+1(x1,…,x2l+1)=?l(x1,…,x2l) ?l(x1,…,x2l+1).
Теорема. Следующие условия на алгебру Ли и L над кольцом К эквивалентны.
. Для некоторого целого l 1 L(l-1) {0},a L(l)={0}.
. В L имеется конечный разрешимый ряд идеалов
L=L0 L1 … Ll={0}
(т.е. такой, что Li/Li+1 - абелева алгебра), и число l - наименьшая длина таких рядов.
. В L имеется ряд подалгебр
L=М0 М1 … Мc={0}, где М2i Mi+1 и число l - наименьшая длина таких рядов.
. В L тождественно выполняется соотношение ?l ( x1,…,x2l)=0,
А ?l-1 ( x1,…,x2l-1)=0 не является тождеством L.
Доказательство. Ряд коммутантов обладает тем свойством, что для разрешимого ряда и любого n 0 выполняется Ln Ln. Значит, (1) и (2) эквивалентны. Далее, если справедливо (3), то, в силу свойства М2i Mi+1, по индукции L(n) Mi, откуда L(l)={0}. Значит, выполнено (1); если L(l-1)={0}, то ряд коммутантов будет иметь меньшую длину, чем ряд в (3), что невозможно. Таким образом, (1) и (3) эквивалентны. Утверждение (4) вытекает из (1), так как индуктивное определение элементов ?l(x1,…,x2l) показывает, что для любых v1,…,v2l L элемент ?l(v1,…,v2l) лежит в L(l). Для доказательства обратного заметим, что L(l) как К - модуль порождается элементами ?l(v1,…,v2l), vi L. Это утверждение справедливо при l=0. Предполагая его справедливым для L(l-1) есть К - оболочка элементов ?l-1(v1,…,v2l-1), v1,…,v2l-1 L. По определению тогда L(l) является К - оболочкой произведений таких элементов, равных элементам вида
?l-1(v1,…,v2l-1) ?l-1(v2l-1+1,…,v2)= ?l(v1,…,v2l).
Таким образом, если выполнено (4), то и выполнено (1). Теорема доказана.
Алгебра L, удовлетворяющая условиям (1) - (4), называется разрешимой ступени l.
6.Описание алгебр Ли малых размерностей
Опишем теперь все алгебры Ли, размерность которых меньше четырех. Пусть (e1,e2,…,en) - базис алгебры Ли L; тогда [eiei]=0, [eiej]=-[ejei], и поэтому для задания таблицы умножения в этом базисе достаточно определить произведения [eiei] для i<j. Будем использовать в наших рассуждениях эти сокращенные таблицы умножения:
I.Dim L=1. Тогда L=Фе, [ee]=0.
II.Dim L=2
(a)L=0, L - абелева.
(b)L0. Поскольку L=Фе+Фf, L= Ф[ef] имеет размерность единицу.
Мы можем выбрать элемент е так, что L= Фe. Следовательно, L совпадает с ассоциативной алгеброй. Эта алгебра - единственная неабелева алгебра Ли размерности 2.
III.Dim L=3.
(a)L=0, L - абелева.
(b)Dim L=1, L N, где N - центр. Если L=Фе, то мы запишем
L=Фе+Фf+Фg.
Тогда L= Ф[fg]. Поэтому можно положить [fg]=e. Таким образом, алгебра L имеет базис (e,f,g) с таблицей умножения
[fg]=e, [ef]=0, [eg]=0. (1)
(с) L=1, L N,
где N - центр. Если L=Фе, то существует элемент f, такой, что [ef] 0. Тогда [ef]=?e0 и можно положить [ef]=е. Поэтому Фе+Фf - неабелева алгебра L размерности 2. Так как R L, где R - идеал, а так как R - совершенная алгебра, то L=R ? , где ?=Фg. Поэтому ? имеет базис (e,f,g) с таблицей умножения
[ef]=e, [eg]=0, [fg]=0. (2)
(d) Dim L=2. Алгебра L не может быть неабелевой двумерной алгеброй Ли L, так как тогда имели бы место равенства L=R ? и L=R=R. Но RR . Поэтому L абелева. Пусть L= Фе+Фf и L=Фе+Фf+Фg. Тогда L= Ф [eg]+ Ф [fg] и, следовательно, ad g индуцирует взаимно однозначное линейное отображение в L. Поэтому алгебра L имеет базис (e,f,g) с таблицей умножения
[ef]=0, [eg]=?e+?f, [fg]=?e+?f, (3)
где А= - невырожденная матрица. Обратно, в каждом пространстве L с базисом (e,f,g) мы можем определить произведение [ab] так, что выполнены условия (3) и условие [aа]=0. Тогда [ [ef] g ]+[ [fg] e ]+ +[ [ge] f ]=0, и поэтому L является алгеброй Ли. Какие изменения можно внести в таблицу умножения (3)? Наш выбор базиса равносилен следующему: мы выбираем базис (e,f) алгебры L и дополняем его элементом g так, чтобы получить базис алгебры L. При изменении базиса L матрица А переходит в подобную матрицу М-1АМ. Допустимым изменением элемента g является замена этого элемента на элемент ?g+х, ? Ф, х L.
Тогда [e, ?g +х ]=?[eg], [f, ?g+х]=?[fg], вследствие чего матрица А переходит в матрицу ?А. Поэтому матрица А в таблице умножения (3) мы можем заменить любой матрицей вида ?В, где В - матрица, подобная А. Это означает, что мы имеем взаимно однозначное соответствие между алгебрами L, удовлетворяющими условиями Dim L=3, Dim L=2, и классами сопряженных элементов в двумерной группе коллинеаций.
Если основное поле алгебраически замкнуто, мы можем выбрать матрицу А в одной из следующих форм:
, ? 0; , ? 0.
Это приводит к таким таблицам умножения:
[ef]=0, [eg]=е, [fg]=?f,
[ef]=0, [eg]