Линейные алгебры малых размерностей
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
изм f называется изоморфизмом, а алгебры L и К - изоморфными. Изоморфизм алгебры L на себя называется автоморфизмом.
Пусть L - алгебра Ли, К и N - подпространство векторного пространства L, а К N обозначает их пересечение. Суммой подпространств К, N называется подпространство К+ N, состоящее из всех векторов вида ?+ ? (? К, ? N), а их произведением [К, ?] - линейная оболочка всех коммутаторов [ ?, ?] (? К, ? N). Если КN=0, то К+ N называется прямой суммой подпространствах К, N.
Подпространство К пространства L называется подалгеброй алгебры Ли L, если [ К,К] К, и идеалом этой алгебры, если [ К, L] К.
Если К, N-идеалы алгебры L, то пересечение К N, произведение [К, N] и сумма K + N подпространств К, N векторного пространства L также являются идеалами алгебры L, причем [К, N] =K N. Если K N = 0, то [К N]=0; при этом идеал K + N называется прямой суммой идеалов К, N алгебры L и обозначается символом К N. Если в алгебре L существуют такие идеалы К, N, что L= К N, то алгебра L называется разложимой в прямую сумму своих подалгебр К и N. Пусть теперь К - идеал, a N-подалгебра алгебры L, причем K N=0; тогда прямая сумма K + N подпространств К, N пространства L является подалгеброй алгебры L и называется полупрямой суммой подалгебр К и N алгебры L. Если при этом L = К+ N, то говорят, что алгебра L является полупрямой суммой своих подалгебр К и N.
Пусть К-идеал алгебры L. Семейство L/К попарно непересекающихся смежных классов ? + K естественно снабжается структурой алгебры Ли. Полученная алгебра L/К называется факторалгеброй алгебры L по идеалу К, а гомоморфизм ?> ?+К алгебры L на алгебру L/К - естественным, или каноническим, гомоморфизмом; ядром этого гомоморфизма являетсяидеал К. Сама алгебра L называется при этом расширением алгебры L/К с помощью К.
Алгебра Ли L(1) = [L, L] называется производной алгеброй алгебры Ли L. По построению, L(1) является идеалом в L. Производные алгебры более высокого порядка определяются рекуррентно: L(n+1) = (L(n))(1), n=1, 2, ...
Алгебра L называется разрешимой, если L(n) = 0 для некоторого n > 0. Простейшим примером разрешимой алгебры является коммутативная алгебра Ли. Разрешимы также все одномерные и двумерные алгебры Ли. Подалгебра и гомоморфный образ любой разрешимой алгебры, очевидно, разрешимы; в частности, разрешима факторалгебра разрешимой алгебры по любому ее идеалу. Кроме того, если идеал K алгебры L и факторалгебра L/K разрешимы, то сама алгебра L также разрешима. Действительно, если K(n) = 0, (L/K)(m) = 0 для некоторых положительных n, т, a f: L> L/K - естественный гомоморфизм, то f(L(m))=(f(L))(m)= (L/K)(m)=0, откуда следует, что L(m) К и
L(n+m)=0.
Алгебра Ли называется нильпотентной, если для некоторого положительного целого n L(n)=0.
При помощи индукции легко проверить, что L(n) L(n). В самом деле, L(0)=L(0), и если L(n) L(n), то
L(n+1)=[ L(n) , L(n)] [L(n), L] L(n+1).
Таким образом, нильпотентная алгебра является разрешимой. Обратное не верно: например, двумерная некоммутативная алгебра Ли , определяемая коммутативным соотношением
[X,Y]=X,
разрешима, но не нильпотентна.
Пусть K, N-разрешимые идеалы алгебры Lr. Факторалгебра (K+N)/N изоморфна разрешимой алгебре К/(К N) и, значит, разрешима. Поэтому идеал K + N разрешим как расширение разрешимой алгебры (K+N)/N с помощью разрешимой алгебры N. Отсюда следует, что разрешимый идеал R максимальной размерности в конечной алгебре Ли Lr является единственным и содержит все разрешимые идеалы алгебры Lr. Этот максимальный разрешимый идеал R называется радикалом алгебры Lr.
Алгебра Ли Lr называется полупростой, если ее радикал равен нулю. Заметим, что всякий коммутативный идеал разрешим. С другой стороны, алгебра L, содержащая ненулевой разрешимый идеал К, содержит также ненулевой коммутативный идеал - им является предпоследний элемент последовательности производных: К, К(1),..,К(n-1),К(n)=0. Поэтому алгебра Ли полупроста в том и только том случае, если она не имеет отличных от нуля коммутативных идеалов.
Полупростой будет любая конечномерная алгебра L, распадающаяся в прямую сумму
L=К…N
своих идеалов K,…,N, являющимися простыми алгебрами.
4.Нильпотентные алгебры Ли
.1 Эквивалентность различных определений нильпотентности
Теорема. Следующие условия на алгебру Ли L над кольцом К эквивалентны (с - некоторое натуральное число):
. Lс {0}, Lс+1={0};
. Zc-1(L) L, Zc(L)=L;
. L обладает конечным центральным рядом длины с и не обладает таким рядом длины с -1;
. для любой расстановки скобок произведение с+1 элемента алгебры L равно нулю, и при некоторой расстановки скобок произведение некоторых элементов не равно нулю;
. в L выполняются тождество
х1х2…хс+1 0
и не выполняется тождество
х1х2…хс 0.
Доказательство. Заметим вначале, что для любых натуральных s и r справедливо включение LsLt Ls+t. Действительно, заметим, что LsL1=Ls+1 по определению нижнего центрального ряда. Проводя индукцию по r, получаем
LsLr+1= Ls(LrL1) ( LsLr )L1+ Lr (LsL1)=Ls+rL1+LrLs+1=Ls+r+1.
Здесь мы воспользовались тождеством Якоби, предположением индукции и определением членов нижнего центрального ряда.
Для доказательства эквивалентности утверждений 1-3 достаточно заметить, что если L обладает центральным рядом длины с
L=L0 L1 … Lc={0}, (1)
то, согласно свойствам верхнего и нижнего рядов, получаем, что для любого неотрицательного l имеем
Ll+1 L1 и Zl(L) Lc-1.
Поэтому в этом случае Lс+1={0} и Zс(L)= L. Выбирая в качестве ряда (1) соответственно нижний и верхний центральные ряды, мы получаем все нужные нам импликации (