Линейные алгебры малых размерностей
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
p>
Подпространство К пространства L называется подалгеброй алгебры Ли L, если [ К,К] К, и идеалом этой алгебры, если [ К, L] К.
Если К, N-идеалы алгебры L, то пересечение К N, произведение [К, N] и сумма K + N подпространств К, N векторного пространства L также являются идеалами алгебры L, причем [К, N] =K N. Если K N = 0, то [К N]=0; при этом идеал K + N называется прямой суммой идеалов К, N алгебры L и обозначается символом К N. Если в алгебре L существуют такие идеалы К, N, что L= К N, то алгебра L называется разложимой в прямую сумму своих подалгебр К и N.
Алгебра L называется разрешимой, если L(n) = 0 для некоторого n > 0.
Алгебра Ли называется нильпотентной, если для некоторого положительного целого n L(n)=0.
Пусть K, N-разрешимые идеалы алгебры Lr. Факторалгебра (K+N)/N изоморфна разрешимой алгебре К/(К N) и, значит, разрешима. Поэтому идеал K + N разрешим как расширение разрешимой алгебры (K+N)/N с помощью разрешимой алгебры N. Отсюда следует, что разрешимый идеал R максимальной размерности в конечной алгебре Ли Lr является единственным и содержит все разрешимые идеалы алгебры Lr. Этот максимальный разрешимый идеал R называется радикалом алгебры Lr.
Алгебра Ли Lr называется полупростой, если ее радикал равен нулю.
2.Алгебры. Ассоциативные алгебры
В линейных (векторных) пространствах заданы две алгебраические операции - сложение и умножение на числа. Алгеброй называют линейное пространство, в котором кроме сложения и умножения на числа определена операция умножения элементов пространства, причем умножение и сложение удовлетворяют законам дистрибутивности
a(?b+?c)=?a?+?ac, (?b+?c)a=?ba+?ca,
где ?, ? - числа, а a,b,c - элементы алгебры.
Если линейное пространство алгебры рассматривается над полем вещественных ( комплексных ) чисел, то алгебру называют вещественной (комплексной ). Алгебры бывают конечномерными и бесконечномерными. Если умножение в алгебре коммутативно, то есть ab=ba для любых элементов a и b алгебры, то алгебру называют коммутативной. Если в алгебре А существует элемент е, такой что ае=еа=а для любых элементов а А, то е называют единицей алгебры А, а алгебру А - алгеброй с единицей. Если для любых трех элементов a,b,c алгебры А выполняется условие ассоциативности (ab)c=a(bc), то А называют ассоциативной алгеброй.
Пример 1. Множество всех комплексных чисел - вещественная ассоциативная алгебра с единицей.
Пример 2. Множество Mat(n,C) всех комплексных квадратных матриц размерности n - ассоциативная алгебра относительно обычных сложения и умножения матриц. Эта алгебра некоммутативна.
Пример 3. Множество С?(Rn) всех комплексных бесконечно дифференцируемых функций на Rn образуют комплексную коммутативную ассоциативную алгебру относительно обычных сложения и умножения функций.
Линейное подпространство В алгебры А называют подалгеброй в А, если В является алгеброй относительно заданного в А умножения, то есть произведение элементов из В принадлежит В.
Если В - подалгебра алгебры А и для всех а А, b B элемент ab (элемент ba) лежит в В, то В называют левым (правым) идеалом. Если же для всех а А, b B как ab, так и ba принадлежит В, то В - двусторонний идеал (или просто идеал) алгебры А. Алгебру, не имеющую нетривиальных идеалов, называют простой.
Пример 4. Алгебра Mat(n,C) простая.
Пусть А1 и А2 - алгебры . Отображение ? из А1 в А2 называют гомоморфизмом, если ? сохраняет линейные операции и умножение, то есть если для всех a,b А1 и для всех чисел ?,? имеем
? ( ?a+?b)= ??(a)+??(b), ?(ab)=?(b)?(a).
Если гомоморфизм ? алгебры А1 на алгебру А2 взаимно однозначен, то он называется изоморфизмом. Изоморфизм алгебры А на себя называют автоморфизмом А. Множество всех автоморфизмов алгебры А образует группу, обозначаемую через Aut А. Взаимно однозначное отображение ? алгебры в себя называют антиавтоморфизмом, если
? ( ?a+?b)= ??(a)+??(b), ?(ab)=?(b)?(a).
3.Алгебры Ли
Алгеброй Ли называется векторное пространство L с умножением (билинейным отображением (?1, ?2) >[ ?1, ?2] произведения L L в L), которое антисимметрично
[ ?1, ?2]+ [ ?2, ?1]=0
и удовлетворяет тождеству Якоби
[ ?1, [?2, ?3]] + [ ?2, [?3, ?1]] +[ ?3, [?1, ?2]] =0
для всех ?1, ?2, ?3 L. Произведение [ ?1, ?2] называется коммутатором векторов ?1 и ?2. Любое векторное пространство можно превратить в алгебру Ли. Если, например, определить умножение, пологая [ ?1, ?2]=0 для всех векторов ?1, ?2 рассматриваемого пространства, то получается алгебра Ли, называемая коммутативной, или абелевой. Размерностью алгебры Ли L называется размерность векторного пространства L. Алгебра L размерности r будет обозначаться также символом Lr.
Пусть Lr - алгебра Ли, ?1,…, ?r - базис соответствующего векторного пространства Lr. Разложение коммутатора любой пары базисных векторов по этому базису имеет вид
[ ?i, ?j]=ckij ?k,
где ckij (I,j,k=1,…,r) - вещественные числа. Числа ckij называются структурными константами ( в данном базисе ) алгебры Lr и образуют аффинный тензор над векторным пространством Lr. Антисимметричность коммутатора и тождества Якоби накладывают следующие условия на структурные константы:
ckij+ ckji=0, ckim cmin+ ckjm cmni+ cknm cmij=0.
Линейное отображение f: L>K называется гомоморфизмом алгебры L в алгебру К, если для всех векторов ?, ? из L выполняется равенство
f([?, ?])=[ f(?), f(?)].
Множество f-1(0) всех векторов из L, которые при гомоморфизме f переходят в нулевой вектор пространства К, называется ядром гомоморфизма f. Если f отображает L на К и f-1(0)=0, то гомоморф