Линейные алгебры малых размерностей
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
=е+ ?f, [fg]=f.
Различным элементам ? соответствуют различные алгебры 1, поэтому мы получаем бесконечно много неизоморфных алгебр.
(e) Dim L=3. Пусть (e1,e2,e3) - базис, и положим [e2e3]=f1, [e3e1]=f2, [e1e2]=f3. Тогда (f1, f2, f3) - тоже базис. Запишем fi= , где А=(?ij) - невырожденная матрица. Единственное условие Якоби, которое нужно наложить, следующее: [f1e1]+[f2e2]+[f3e3]=0. Отсюда получаем соотношение
0= ?12[e2e1]+ ?13[e3e1]+ ?21[e1e2]+ ?23[e3e2]+ ?31[e1e3]+ ?32[e2e3]= -?12f3 + ?31f2+ +?21f3- ?23f1- ?31f2+ ?32f1.
Поэтому ?ij= ?ji, так что А - симметрическая матрица. Пусть () - другой базис, где , М=(?ij) - невырожденная матрица. Положим
Для тройки (i,j,k), полученной циклической перестановкой индексов (1, 2, 3), имеем формулы
[??jrer, ??kses]= [ eres]=(?j2 ?k3- ?j3 ?k2)f1+( ?j3 ?k1- ?j1 ?k3)f2+ +( ?j1 ?k2- ?j2 ?k1)f3=??irfr.
1 Следует исключить случай, когда элементы ? 0, ? 0 связаны соотношением ? ?=1. Тогда они определяют одну и туже алгебру, так как
Матрица N=( ?ij)=adj M=(M)-1det M1. Матрица А связывает элементы f с элементами е, а матрица M-1 связывает элементы е с элементами . Поэтому, если - матрица (), такая, что , то
=(det M)(M)-1AM-1. (4)
Матрицы А и В называются мультипликативно коградиентными, если В=?NAN, где N - невырожденная матрица и ? - отличный от нуля элемент поля Ф. В этом случае можно записать В=??2(?-1N)A (?-1N),?=? det N,и если
матрицы имеют три столбца и три строки, то мы положим M=?N-1 и В=?(M-1)AM-1,?=??2=det M. Таким образом, мы получам соотношение (4).
Вследствие этого матрицы А и (симметрические) должно быть мультипликативно коградиентны.
Поэтому каждой алгебре L, удовлетворяющей нашим условиям, однозначно сопоставляется единственный класс невырожденных мультипликативно коградиентных симметрических матриц. Имеется столько алгебр, сколько существует классов таких матриц. Далее мы будем предполагать, что характеристика основного поля отлична от 2.
Тогда каждый коградиентный класс содержит диагональную матрицу вида diag{?,?,1},?? 0. Отсюда следует, что базис может быть выбран так, что выполняются равенства
[e1e2]=e3, [e2e3]=?e1, [e3e1]=?e2. (5)
Если основное поле - поле вещественных чисел, имеются две различные алгебры, соответствующие выбору ?=?=1 и ?=-1, ?=1. Если поле алгебраически замкнуто, то можно положить ?=?=1. Мы опишем сейчас некоторую частную алгебру в семействе алгебр, удовлетворяющих условию Dim L=3= Dim L. Наложим на алгебру L следующие условие: существует элемент h L, такой, что ad h имеет характеристический корень ? 0, ? Ф. Тогда найдется вектор е 0, такой, что [eh]=e ad h ?e 0, и так как [hh]=0, то е и h - линейно независимы и являются частью базиса (e1,e2,e3) (e, h,f). Если (f1, f2, f3) определены как раньше, то симметрическая матрица (?ij) имеет вид. (6)
Из формул [eh]=?e, [h,h]=0, [fh]=-?f-?11e-?12h, следует, что характеристические корни эндоморфизма ad h равны 0, ?, -?.
Мы можем заменить f характеристическим вектором, соответствующим корню -?, так как этот вектор линейно независим относительно пары (e, h).
Здесь М - матрица, получающаяся из М транспонированием, adj М- присоединенная матрица матрицы М, det М - определитель матрицы М.
Мы видим, таким образом, что существует единственная алгебра, удовлетворяющая нашим условиям.
Поэтому мы можем предположить, что [eh]=?e, [fh]=-?f. Если заменить h на 2?-1h, то получится [eh]=2e, [fh]=-2f. Из формулы (6) следует, что [ef]=?h0.
Заменив f на ?-1f, мы получим базис (e, f,h) с законом умножения
[eh]=2e, [fh]=-2f, [ef]=h. (7)
7.Заключение
Алгебры Ли представляют собой один из классических объектов современной математики. Их теория находится в особом положении как по полноте структурной информации, по крайней мере, в классе конечномерных алгебр Ли, так и по многочисленным связям с другими разделами математики, среди которых следует упомянуть теорию групп Ли.
Теория представления алгебр Ли до сих пор не имеет, по существу, самостоятельного статуса. Это связано, например, с необозримостью задачи классификации простых модулей над алгебрами Ли. Развитие теории представлений алгебр Ли традиционно связано с теорией представления групп Ли.
Алгеброй Ли называется векторное пространство L с умножением (билинейным отображением (?1, ?2) >[ ?1, ?2] произведения L L в L), которое антисимметрично
[ ?1, ?2]+ [ ?2, ?1]=0
и удовлетворяет тождеству Якоби
[ ?1, [?2, ?3]] + [ ?2, [?3, ?1]] +[ ?3, [?1, ?2]] =0
для всех ?1, ?2, ?3 L. Произведение [ ?1, ?2] называется коммутатором векторов ?1 и ?2. Любое векторное пространство можно превратить в алгебру Ли. Если, например, определить умножение, пологая [ ?1, ?2]=0 для всех векторов ?1, ?2 рассматриваемого пространства, то получается алгебра Ли, называемая коммутативной, или абелевой. Размерностью алгебры Ли L называется размерность векторного пространства L.
8. Список использованных источников
алгебра ли математика нильпотентная
1. Бахтурин А.Ю. Тождество в алгебрах Ли Москва - Минск 1985г.
. Джекобсон Н. Алгебры ЛиМ: Мир 1966г.
. Голод П.И. Математические основы теории симметрии