Координатно-векторний метод розв'язування стереометричних задач
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?значає стрілка у вектора? (ОВ. напрям)
)Точка, якою позначають початок координат (ОВ. О).
12)Направлений відрізок (ОВ. вектор).
13)Четверта буква в слові математика (е).
14)Вектори, що лежать на паралельних прямих (ОВ. колінеарні вектори).
)Правильний многогранник, що складається з чотирьох правильних трикутників (ОВ. тетраедр).
)Одиничний вектор (ОВ. орт).
17)Сторона грані многогранника (ОВ. ребро).
18)Довжина вектора (ОВ. нуль).
)Нам бичок сказав: Уви! Немає слів на букву … (ОВ. И)
20)Який молочний продукт найчастіше рекламують? (ОВ. йогурт)
21)Відрізок, що сполучає вершину трикутника з серединою протилежної сторони (ОВ. медіана).
)Давньогрецький математик, творець геометрії (ОВ. Евклід).
23)Твердження, яке потребує доведення (теорема).
)(На моделі піраміди) Дайте назву вказаної грані(ОВ. основа).
25)Кут, утворений двома півплощинами зі спільним ребром (ОВ. двогранний кут).
IV.Повідомлення теми, мети і завдань уроку.
Отже, тема нашого уроку координатно-векторний метод розвязування задач. Сьогодні на уроці, ми дізнаємось як використовується координатно-векторний метод розвязування задач та його переваги над іншими методами..Самостійна робота
Варіант 1
.ABCDA1B1C1D1 - паралелепіпед. Спростіть вираз:
2.Визначити довжину відрізка АВ; точки мають координати А(1, 2, 0), В(5, 3, 1).
Варіант 2
.ABCDA1B1C1D1 - паралелепіпед. Спростіть вираз:
2.Визначити довжину відрізка АВ; точки мають координати А(0, 2, 0), В(3, 3, 1).
Перевірка самостійної роботи, виставлення балів в оцінювальну таблицю..Розвязування задач
Задача 1
Довести, що медіани тетраедра перетинаються в одній точці і діляться у цій точці в відношенні 3:1, починаючи від вершини.
Розвязання.
Візьмемо на медіані тетраедра A?CD точку М таку, що . За формулою поділу відрізка в даному відношенні, маємо:
де О - довільна точка простору.
Враховуючи, що точка М задовольняє рівність
,
отримаємо:
.
Для точки M, що ділить будь-яку з трьох інших медіан тетраедра A?CD у відношенні 3:1, починаючи від вершини, отримаємо такий самий вираз (симетричний відносно ). Значить, і всі чотири медіани тетраедра перетинаються в одній точці М і кожна з них ділиться цією точкою у відношенні 1:3, починаючи від вершини тетраедра. Точку М називають центроїдою тетраедра.
Задача 2
У сферу вписано правильну чотирикутну піраміду з двогранним кутом при основі . Знаючи, що площа сфери дорівнює S, знайти площу основи піраміди[13, c. 478 - 479].
Розвязання.
Вибиремо систему координат з початком в точці М - центр основи; додатні напрямки осей x, y, z збігаються відповідно з напрямками променів МВ, МС, МS, на яких лежать діагоналі основи і висота піраміди. Позначимо сторону основи a.
У вибраній системі координат ,
Аплікату точки S визначимо з прямокутного трикутника , де
Отже,
Аплікату центра О сфери визначимо із співвідношення:
враховуючи, що
Отже, маємо
.
Звідси
Радіус описаного кола
Відомо, що або
Із цієї рівності визначимо площу основи піраміди SABCD:
VII.Повідомлення домашнього завдання.
Задача 1
Бічні грані правильної шестикутної призми - квадрати. Знайти величину кута між схрещеними діагоналями суміжних граней призми [1].
Розвязання.
Нехай - правильна шестикутна призма. Потрібно знайти кут між прямими і . Розкладемо вектори і за не компланарними векторами , і . Отримаємо:
, .
Довжини векторів , , однакові, приймемо їх за 1, тоді . Кут між векторами і рівний 60, , . Звідси,
Нехай - кут між прямими і , тоді
Отже, .
Розвязування векторним способом подібних задач набагато простіше і ефективніше, ніж звичайними способами.
VIII.Підведення підсумків уроку.
Виставлення балів за таблицями оцінювання.
Висновки
Отже, при розв'язуванні стереометричних задач, крім традиційних методів з використанням алгебри і тригонометрії, можуть використовуватись і інші методи, в тому числі і координатно-векторний.
Координатно-векторний метод поєднує в собі два методи розвязування задач: векторний та координатний. Порівнюючи вказаний метод з іншими методами розвязування стереометричних задач ми виявили,що дуже часто він дозволяє уникнути штучних побудов, спрощує розвязання багатьох геометричних задач і доведення теорем. Він зручний також тим, що не потрібно використовувати велику кількість формул, ознак і властивостей фігур.
Координатно-векторний метод в шкільному курсі геометрії застосовується дуже мало, хоч і є досить зручним. Дивлячись на те, що учні не дуже добре розуміють вказаний метод, важливо поєднувати координатно-векторний метод разом із аналітичним методом. Такий підхід до розвязування стереометричних задач сприятиме відшуканню більш простих та доступних розвязків задач і кращому засвоєнню учнями навчального матеріалу.
Список використаних джерел
1.Артеменко Н. М. Методи розвязування стереометричних задач // Математика в школах України. - № 5. - с. 6-12.
2.Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии, ч.1.-М.:Просвещение,1974.
3.Атанасян Л.С.,Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х ч.. Ч.1.- М.: Просвещение,1986.-336 с.
.Григорьева Т. П. К изучению скалярного произведения скалярного произведения ?/p>