Координатно-векторний метод розв'язування стереометричних задач
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
инає її в точці (Рис. 3).
Тоді
Так як вектор перпендикулярний площині і колінеарний вектору то згідно з визначенням скалярного добутку,
Позначимо Тоді
Виразимо скалярний добуток, що стоїть в знаменнику дробу, через координати векторів і Отримаємо:
Точка лежить в площині , тому . Таким чином, маємо:
Враховуючи, що , отримаємо:
Отже, для того щоб обчислити відстань від точки до площини , потрібно в многочлен замість підставити координати точки , взяти модуль отриманого числа і поділити його на число
Наведемо основні векторні співвідношення і формули, які використовуються для розв'язування стереометричних задач.
)Для будь-яких трьох точок ?, ?,C має місце рівність:
(правило трикутника).
2)Для будь-яких трьох точок ?, ? і О виконується рівність:
.
3)Для того, щоб точка С лежала на прямій АВ, необхідно і достатньо, щоб існувало таке число k, що
З даної рівності випливає, що
.
4)Нехай А і В - дві різні точки прямої і точка С - точка даної прямої така, що . Доведемо істинність формули:
де О - довільна точка.
Відмітимо, що , інакше було б, що , або
,
тобто . Але це неможливо, тому що А і В різні точки.
Нехай або Користуючись правилом віднімання векторів, отримаємо:
,
,
Дану формулу називають формулою ділення відрізка в даному відношенні. Якщо С - середина відрізка АВ, то і
.
5)Чотирикутник ABCD є паралелограмом тоді і тільки тоді, коли виконується одна з наступних рівностей:
, , ,
де O - довільна точка простру.
)Якщо вектори і неколінеарні, то для будь-якого вектора , що лежить в одній площині з і , існує єдина пара чисел x і y таких, що .
)В просторі для кожного вектора існує єдиний розклад за трьома некомпланарними векторами , , :
(x, y, z - однозначно визначені числа).
8)Нехай точки А, В, С не лежать на одній прямій; тоді для того щоб точка D лежала в площині АВС, необхідно і достатньо, щоб існувала така пара чисел ? і ?, що .
При розвязуванні різних геометричних задач на обчислення довжин відрізків і величин кутів, на доведення геометричних нерівностей ефективно використовувати скалярне множення векторів. Нагадаємо його основні властивості.
1)З визначення скалярного добутку слідує, що
,
тобто скалярний квадрат вектора рівний квадрату його довжини. Отже, для знаходження довжини відрізка AB може бути використана формула
.
За допомогою скалярного добутку двох векторів можна знаходити довжину відрізка, величину кута, отже, знаходити відстані, площі та інші метричні характеристики геометричних фігур. Для доведення перпендикулярності прямих і площин зручно користуватися ознакою перпендикулярності двох ненульових векторів:
Для знаходження довжини відрізка АВ векторним способом в якості базисних вибирають такі вектори, довжини яких і кути між якими вже відомі. Потім записують розклад вектора за базисними векторами і знаходять:
Якщо в задачі потрібно знайти величину кута , то в якості базисних беруть вектори з відомими відношеннями їх довжин і кутами між ними. Потім вибирають вектори на сторонах цього кута з початком в його вершині і розкладають їх по базису, після чого знаходять cos ? за формулою
2)Для будь-яких векторів і має місце нерівність
.
3)Відрізки AB і CD перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли
.
4)Для будь-яких векторів і має місце формула:
Для успішного використання векторного методу, корисно знати деякі рівності, які часто використовуються для розязування задач.
5)Для будь-яких векторів , , виконується рівність:
.
6)Для будь-яких трьох точок A, B і C:
,
теорема косинусів.
7)Для будь-яких чотирьох точок A, B, C, D:
.
Вектори і в лівій частині представимо у вигляді різниці двох векторів, відкладених від точки A. Отримаємо:
.
Доведена рівність є узагальненням рівності 6), яка випливає з неї при співпаданні точок D і A.
3.Приклади розвязання стереометричних задач координатно-векторним методом
В шкільному курсі математики координатно-векторний використовується для розязування стереометричних задач дуже мало. На вивчення теми Вектори і координати у 11 класі виділяється 10 годин. Застосування координатно-векторного проводиться по аналогії із його застосуванням в планіметрії. Даний метод в шкільному курсі геометрії використовується для досить легких та типових задач. Тому пропонуємо добірку задач, які доречно було б розглянути на факультативних заняттях, для поглиблення знань про координатно-векторний метод. При розвязанні стереометричних задач такого типу легко помітити переваги координатно-векторного методу над іншими методами, які вимагають знання великої кількості означень, ознак і формул [4].
Задача 1
Основою піраміди SA?CD є паралелограм. Проведено площину, що перетинає бічні ребра SA, S?, SC, SD піраміди відповідно в точках K, L, M, N таких, що Знайти залежність між числами k, l, m, n.
Розвязання.
За умовою належності чотирьох точок M, N, K і L, маємо: