Координатно-векторний метод розв'язування стереометричних задач
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
p>
За формулою відстані від точки до площини знайдемо висоту тетраедра:
і отримаємо відношення:
Задача 11
Дано прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1, в якому , , . Через вершину B1 проведена пряма перпендикулярно площині . Довести, що якщо , то пряма перетинає грань ABCD в деякій точці М. Знайти [16].
Розвязання.
Введемо в просторі прямокутну систему координат з початком в т D (Рис. 14).
Вершини паралелепіпеда матимуть координати , , , .
Запишемо рівняння площини :
Вектор перпендикулярний до площини і є напрямним вектором прямої :
де .
Знайдемо координати точки перетину прямої з площиною . Нехай , тоді
Очевидно, якщо , то , . Значить, точка М лежить всередині прямокутника ABCD.
За формулою відстані між двома точками знаходимо
чи де h - відстань від точки D до площини .
Зауваження. Отримана формула показує, як отримати елементарно-геометричний розвязання задачі.
Нехай перпендикуляр до площини перетинає площину A1B1C1 в точці . Тоді - паралелограм. З трикутника DND1 випливає, що тому .
Задача 12
Дано прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1. Яке найбільше значення може приймати кут нахилу його діагоналі до площини ?
Розвязання.
Виберемо в просторі прямокутну систему координат з початком в точці D. Рівняння площини має вигляд:
Вектор перпендикулярний до площини . Позначимо шуканий кут через . Легко довести, що
Знаходимо Значить, де
З очевидної нерівності слідує, що
Звідки слідує, що:
і , причому тоді і тільки тоді, коли
Таким чином, і приймає найбільше значення, рівне лише за умови, що паралелепіпед є кубом.
Отже, якщо - напрямний вектор даної прямої і - вектор, перпендикулярний до площини то кут між прямою і даною площиною знаходиться з рівності
Величина кута між двома площинами обчислюється за визначенням від 0 до 90. Якщо вектори і - вектори перпендикулярні відповідно площинам і то кут між даними площинами знаходиться з рівності
(даний кут або рівний куту між векторами і або доповнює його до 180.)[15]
Задача 13
Дано куб ABCDA1B1C1D1. Знайти кут між площинами і
Розвязання[4].
Так як і то вектор перпендикулярний площині Аналогічно, вектор перпендикулярний до площини
Виберемо прямокутну систему координат з початком в точці D і координатними векторами Тоді вершини куба будуть мати координати а вектори - такі ж координати, як і точки і :
Кут між площинами і знайдемо за формулою:
Так як
Відмітимо, що лінійний кут AMC двогранного кута з ребром тупий і рівний 120.
Традиційне розвязання задачі полягає в побудові лінійного кута AMC двогранного кута обчислення сторін трикутника AMC, а потім і кута AMC.
Аналітичне розвязання задачі підштовхує на ще один, більш простий спосіб розвязання. Трикутник - рівносторонній, так як кожна його сторона рівна діагоналі квадрата з стороною 1. Значить, кут між векторами рівний 60.
Метод координат з успіхом може застосовуватись при розвязуванні задач на відшукання множини точок з певною властивістю.
Задача 14
Дано дві точки простору Знайти множину точокМ простору, для яких де c - даний відрізок[2].
Розвязання.
Виберемо прямокутну систему координат з початком в точці А, напрямок осі абсцис - напрямок променя АВ.
Нехай - довільна точка простору, Точка В буде мати координати (). За формулою відстані між двома точками, отримаємо рівняння:
чи звідки
Отже, шукана множина точок є площиною, перпендикулярною прямій АВ.
4.Розробка уроку з використанням координатно-векторного методу розвязування стереометричних задач
План-конспект уроку
Урок геометрії в 10 класі з теми Координатно-векторний метод
Мета:
сформувати уявлення про координатно-векторний метод розвязування задач, показати його переваги;
розвивати навички критичного мислення, рефлексії;
виховати працелюбність, вольові якості.
Хід уроку.Організаційний момент
Перевірка готовності учнів до уроку. Сьогодні на уроці ми продовжуємо розвязувати стереометричні задачі та розглянемо новий метод. Кожен учень під час уроку буде оцінений. За кожен етап уроку ви самі собі виставляєте бали у табличку. Виставлені вами бали я порівняю зі своїми та виставлю вам у журнал.
Оцінювальна табличка
Вид роботиОцінкаДомашня роботаБліц опитуванняСамостійна роботаРозвязування задачКінцева оцінка.Перевірка домашнього завдання.
Учні звіряють відповіді домашнього завдання, виставляють бали у оцінювальну таблицю..Актуалізація опорних знань.
Бліц - опитування
Завдання: Записати першу букву слова, яке відповіддю на запитання.
)Положення точки на координатній площині (ОВ. координати).
)Перша цифра (ОВ. одиниця).
)Інша назва перпендикулярних прямих (ОВ. ортогональні прямі).
)Пряма CD для піраміди (ОВ. ребро).
)Математик, в честь якого назвали прямокутну систему координат (ОВ. Декарт).
)Восьма буква в слові математика (ОВ. и).
)Числа, що використовуються при лічбі (ОВ. натуральні числа).
)Перша буква алфавіту (ОВ. а).
)Три точки, що не лежать на одній прямій і три відрізки, що послідовно їх сполучають (ОВ. трикутник).
)Що п?/p>