Координатно-векторний метод розв'язування стереометричних задач
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
±ертання і вектори
Задача 7
Навколо правильної чотирикутної піраміди, кожне ребро якої дорівнює 10, описаний циліндр так, що всі вершини піраміди знаходяться на колах основ циліндра. Знайдіть об'єм та площу бічної поверхні циліндра.
Розвязання.
Нехай вершина Р цієї піраміди РАВСD лежить на колі з центром О нижньої основи циліндра, описаного біля цієї піраміди (рис.11).
Так як кожне ребро піраміди дорівнює 10, то радіус R кола основи,описаного навколо правильного трикутника РАВ зі стороною 10, дорівнює
Нехай точка М - середина ребра СD, МK - перпендикуляр опущений з точки М на площину АВС основи циліндра, K?(АВС). Тоді МK ? ВА, МK ? ВР (за визначенням прямої, перпендикулярної площині), при цьому висота h циліндра дорівнює .
Знайдемо для цього введемо в якості базисних не компланарні вектори розкладемо вектор у базисі і знайдемо
Маємо:
Тоді:
Значення x і y знайдемо з умови:
(2)
Система (2) рівносильна системі рівнянь:
….. (3)
Перш ніж розвязувати цю систему рівнянь, знайдемо скалярні добутки векторів:
Маємо: трикутники АВР, РВС - правильні і рівні, а довжини їх сторін рівні АВСD - квадрат зі стороною 10, тому
Тоді:
(4)
(5)
(6)
Продовжимо розвязання системи рівнянь (3). На підставі властивостей скалярного добутку векторів, враховуючи (4) - (6), отримуємо:
Тоді:
Значить,
Відповідь.
Сфера, описана навколо тетраедра, та вектори
Якщо дані довжини трьох ребер РА, РВ і РС тетраедра РАВС, що виходять з його вершини Р, а також відомі величини плоских кутів при цій вершині, то за допомогою векторів можна знайти радіус, а отже і площа сфери (об'єм кулі), описаної навколо цього тетраедра.
Задача 8
У трикутної піраміді РАВС всі плоскі кути при вершині Р прямі. Знайдіть площу сфери, описаної навколо цієї піраміди, якщо РА = 2, РВ = 3, РС = 4.
Розвязання. Нехай точка О - центр сфери, описаної навколо тетраедра РАВС, R - радіус цієї сфери. Тоді ОА = ОВ = ОС = ОР = R.
Введемо не компланарні вектори (рис.7) і приймемо їх за базисні в просторі. Тоді при цьому Знайдемо коефіцієнти х, у і z в цьому розкладі вектора
За правилом трикутника, маємо:
звідки
З рівностей ОА = ОВ = ОС = ОР (як радіуси сфери, описаної навколо тетраедра РАВС) випливає, що означає,
Тоді отримуємо:
Зауважимо, що так як базисні вектори попарно перпендикулярні і довжини їх рівні відповідно 2, 3 і 4, то
(7)
Замінюючи виразом в останній системі рівнянь і враховуючи (7), отримуємо:
Тоді,
Значить,
Відповідь. .
Тригранний кут, сфера та вектори
Якщо відомі величини плоских кутів при вершині Р тригранного кута РАВС і дано відстань РО від цієї вершини до центру О сфери, що дотикається до всіх трьох ребер РА, РВ і РС цього кута, то можна знайти радіус, а значить і площу цієї сфери.
Задача 9
У тригранному куті РАВС відомі величини плоских кутів при вершині
Р: ?АРВ = ?ВРС = ?АРС = 60 [2].
Сфера, центр якої віддалений від вершини Р на відстань, рівну дотикається до всіх ребер цього кута. Знайдіть радіус даної сфери.
Розвязання.
Нехай сфера дотикається ребер РА, РВ і РС в точках відповідно K, Н і М. Тоді РK = РН = РМ (як відрізки дотичних, проведених до сфери з точки Р), при цьому ОK = ОН = ОМ = R ( R - радіус сфери), ОK ? РА, ОН ? РВ, ОМ ? РС (як радіуси сфери, проведені в точки дотику її з ребрами кута).
Введемо не компланарні вектори (рис. 8) і приймемо їх як базисних в просторі. Тоді причому
Так як РK = РН = РМ, то
Знайдемо значення коефіцієнтів х, у, z розкладу вектора використовуючи наступний факт: ОK ? РА, ОН ? РВ, ОМ?РС, тобто
Маємо:
При цьому:
Замінивши в трьох останніх рівностях вектор виразом отримуємо:
Знайдемо скалярні добутки векторів:
координатний векторний стереометричний задача
Маємо:
?АРВ = ?ВРС = ?АРС = 60;
Тоді:
(9) - (10)
Продовжимо розвязання системи рівнянь (8). Після поділу на m2 обохчастин кожного рівняння системи (8), враховуючи (9) - (10), отримуємо:
Після додавання всіх рівнянь останньої системи отримуємо: х + у + z = =1,5. Тоді з першого рівняння 2х + у + z = 2 отримуємо: х + 1,5 = 2, звідки х = =0,5. Аналогічно, з другого і третього рівнянь системи знаходимо: y = 0,5, z = =0,5.
Таким чином,
(Рівність коефіцієнтів розкладання вектора означає, що центр О сфери, що дотикається всіх ребер тригранного кута з плоскими кутами 60 , лежить на прямій перетину бісектральних площин двогранних кутів при ребрах цього тригранного кута.) Знайдемо довжини базисних векторів та враховуючи умову і співвідношення (9) - (10).Одержуємо:
Тоді маємо:
Тепер знайдемо радіус R сфери, враховуючи, що
Маємо
Тоді
Відповідь. .
Задача 10
Дано тетраедр ABCD, у якого всі плоскі кути при вершині D прямі, ,, і , де - висота тетраедра. Довести, що
Розвязання.
Візьмемо точку D за початкову точку, а напрямлені прямі DA, DB, DC за осі прямокутної системи координат. Вершини тетраедра матимуть координати , , . Запишемо рівняння площини у відрізках:
<