Координатно-векторний метод розв'язування стереометричних задач

Дипломная работа - Математика и статистика

Другие дипломы по предмету Математика и статистика

Представимо кожен із векторів, що входять в рівність у вигляді різниці двох векторів зі спільним початком в точці S. Отримаємо:

 

.

,

 

де ?=1-?-?.

Враховуючи умову задачі і попередню рівність перепишемо так

 

.

 

Позначимо через точку О перетин діагоналей паралелограма A?CD. Так як О - середина діагоналей AC і ?D, то

 

2.

 

Таким чином, вектор виражаємо двома способами через не компланарні вектори , і .

В силу єдиності розкладу вектора, отримуємо числові рівності:

 

,

 

Звідси, враховуючи, що , знаходим:

 

Наведемо числовий приклад. Якщо площина проходить через вершину A тетраедра A?CD і перетинає його ребра S? і SD в точках L і N таких, що , , то , , , значить , тобто .

Задача 2 (побудова і обчислення довжини спільного перпендикуляра) [6, с. 22 ]

В кубі ABCDA1B1C1D1 з ребром знайдіть відстань між прямими AB1 і BC1.

 

 

Розвязання.

Виберемо векторний базис , де , Нехай P і Q - деякі точки відповідно прямих BC1 і AB1. Нехай

Тоді,

 

Знайдемо такі числа x і y, щоб вектор був ортогональним векторам і , і т. д., щоб мали місце рівності:

 

 

Беручи до уваги, що та, що отримуємо систему:

 

,

 

Точки P і Q шуканого спільного перпендикуляра будуються відповідно з отриманих рівностей і А так як то

Умова компланарності трьох векторів.

Задача 3

В паралелепіпеді АВСDА1В1С1D1 точка М - середина діагоналі А1С1 грані A1B1C1D1, точка K - середина ребра ВВ1. Доведіть, що прямі А1В1, KМ і ВС1 паралельні деякій площині.

Розвязання.

Введемо вектори:

 

 

Трійку некомпланарних векторів,приймемо за базис. Розкладемо вектори за векторами цього базису.Маємо:

 

 

Це означає, що вектори компланарні; отже, вони паралельні деякій площині, тоді цій площині паралельні і прямі А1В1, KМ і ВС1, для яких вектори є напрямними.

Задача 4

На діагоналях АВ1 і ВС1 граней AA1B1B і ВВ1С1С паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 взяті точки відповідно Н і M так, що відрізки MН і A1C паралельні. Знайдіть відношення довжин цих відрізків.

Розвязання.

Введемо вектори:

 

 

 

Трійку , некомпланарних векторів приймемо за базис і розкладемо вектори за векторами цього базису.Маємо:

 

 

Оскільки точка Н лежить на діагоналі АВ1, то вектори колінеарні, тому існує таке число х, що Аналогічно, в силу колінеарності векторів існує таке число у, що

 

За правилом ламаної знаходимо:

 

 

За умовою MН ??A1C, значить, існує таке число t, що тобто виконується рівність:

 

 

Внаслідок некомпланарності векторів і єдиності розкладу вектора за базисом, приходимо до висновку:

 

, , .

 

Розвязком цієї системи рівнянь є: Тоді

виходить, МН: СА1 = 1: 3.

Відповідь: 1: 3.

Скалярний добуток двох векторів

Задача 5 [4]

У кубі ABCDA1B1C1D1, ребро якого дорівнює 6, знайдіть:

а) відстань від вершини А1 до площини ВС1D;

б) кут між діагоналлю ВА1 межі АА1В1В і площиною ВС1D.

Розвязання.

а) Нехай відрізок A1М - перпендикуляр опущений з вершини А1 на (ВС1D), М (ВС1D) (рис. 4). Тоді A1М = ? (А1; (ВС1D)). Знайдемо довжину відрізка A1М.

 

За правилом трикутника маємо:

 

 

Позначимо: а в площині ВС1D введемо базис де і запишемо розклад вектора за векторами цього базису у вигляді:

 

 

Так як A1М(ВС1D), то A1М ? ВС1, A1М ? ВD (за визначенням прямої, перпендикулярної до площини), значить,

Коефіцієнти х і у в розкладі вектора знайдемо, користуючись умовою:яка рівносильна системі рівнянь

()

 

Перш ніж розвязувати. цю систему рівнянь, знайдемо скалярні добутки векторів:

 

 

Так як трикутники ВС1D, A1ВС1, A1ВDv-правильні і рівні, то довжини їх сторін рівні а

Тоді:

 

(**)

(***)

 

Повернемося до розв'язання системи рівнянь (*).

Враховуючи співвідношення (**) і (***) і властивості скалярного добутку векторів, отримуємо:

 

і

 

Таким чином,

б) Позначимо (ВА1;(ВС1D)) = ?. Так як А1М ? (ВС1D), то ВМ - ортогональна проекція ВС1 на (ВС1D),

значить, (ВА1;(ВС1D)) = ?(ВА1; ВМ) = = ?А1ВМ = ?. Використовуючи співвідношення (**) і (***) і те, що вектор при має вигляд знаходимо:

 

 

Відповідь.

Задача 6

Знайдіть відстань між перехрещеними діагоналями АВ1 і ВС1 суміжних граней АА1В1В і ВВ1С1С куба ABCDA1B1C1D1, якщо ребро цього куба дорівнює 12.

Розвязання. Введемо вектори: (мал.5). Трійку некомпланарних векторів приймемо за базис і розкладемо вектори за векторами цього базису. Маємо:

 

 

 

Нехай відрізок МН - спільний перпендикуляр прямих АВ1 і ВС1 (Н?АВ1, М?ВС1). Тоді довжина відрізка МН дорівнює відстані між цими прямими: ?(АВ1;ВС1) = |МН|. Оскільки точка Н лежить на діагоналі АВ1, то вектори колінеарні, тому існує таке число х, що

 

 

Аналогічно, в силу колінеарності векторів існує таке числоу, що

За правилом ламаної знаходимо:

 

(1)

Враховуючи, що базисні вектори попарно взаємно перпендикулярні і довжина кожного з них дорівнює 12, маємо:

 

 

Отримуємо:

 

 

Таким чином, система векторних рівностей (1) рівносильна системі рівнянь розвязком якої є:

Тоді

 

 

Значить,

 

 

Відповідь. .

Многогранники, фігури о?/p>