Исследование свойств случайных величин, планирование многофакторного эксперимента, получение модельных данных и проведение дисперсионного анализа с целью проверки влияния факторов на показатели качества строительной продукции
Курсовой проект - Менеджмент
Другие курсовые по предмету Менеджмент
?аименьшего xmin до наибольшего xmax на 6 интервалов, и подсчитывают количество значений mi, приходящихся на каждый i-ый интервал. Это число делят на общее число наблюдений n и находят частоту, соответствующую данному интервалу:
Pi = mi /n (26)
Сумма частот всех интервалов должна быть равна единице.
Примем число интервалов равное 6.
Длина интервала h вычисляется по формуле:
h = (xmax-xmin)/l (27)
h = (21,53 - 17,62)/6 = 0,7
Найдем границы интервалов:
x0 = xmin = 17,62,
x1 = x0+h = 17,62+0,7= 18,32 ,
x2 = x1 +h = 18,32+0,7 = 19,02 , 3 = x2 +h = 19,02+0,7 = 19,72 ,4 = x3 +h = 19,72+0,7 = 20,42 ,5 = x4 +h = 20,42+0,7 = 21,12 ,6 = x5 +h = 21,12+0,7 = 21,82 .
z0=-?,
z1=(x1-mх)/?=-1,0352,2=-0,5423,
z3=-0,0493,
z4=0,4437,
z5=0,9366,
6=+? .
Найдем наблюдаемое значение критерия (по таблице 6).
Таблица 6
Номер интервалаГраницы интерваловniТеоретические границы интерваловФ(zi)Ф(zi+1)PI =Ф(zi+1)-Ф(zi)ni = n•Pi(nI - ni)2/niХiXi+1ZiZi+1117,6218,328-?-1,0352-0,5-0,35080,14928,9520,1012218,3219,0210-1,0352-0,5423-0,3508-0,20540,14548,7240,1866319,0219,7211-0,5423-0,0493-0,2054-0,01990,185911,1540,0022419,7220,4210-0,04930,4437-0,01990,17000,189911,3940,1705520,4221,12100,44370,93660,17000,32640,15649,3840,0404621,1221,82110,9366+?0,32640,50,173610,4160,0327?601600,5336
?2набл= 0,5336
По таблице критических точек распределения ?2, по уровню значимости ? = 0,05 и числу степеней свободы k=3 находим ?2кр(0,05;3) = 7,8.
Так как ?2набл < ?2кр, то есть основания принять нулевую гипотезу о нормальности закона распределения с уровнем вероятности 0,95.
Таблица 7 - Выборка объемом 50
№ У1№ У1№ У1№ У1№ У1118,811220,142318,943420,244521,53220,981321,442418,843517,734620,06320,111418,932518,583620,814719,34418,571519,722621,483717,754818,71519,261621,222720,713821,244920,36621,071721,162819,283920,865021,29717,841820,032921,074019,3551819,521920,983019,044119,1852918,052020,013121,234218,14531018,982118,423219,284321,29541120,562217,823319,814419,6955
Поскольку выборка объемом 50 сформирована из выборки объемом 60, имеющей нормальное распределение, то и сама выборка объемом 50 имеет нормальное распределение.
Рисунок 2 - Гистограмма распределения для n=50
.2.2 Среднее и дисперсия выборки объёмом 50
Вычисляем среднее арифметическое результатов наблюдений по формуле (1): =19,79.
Вычисляем дисперсию по формуле (2): D=1,35.
.2.3 Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух выборок при условии равенства их генеральных дисперсий
Пусть генеральные совокупности X и Y объёмом n и m соответственно распределены по нормальному закону, причём средние квадратические отклонения их известны и равны соответственно и . Требуется по двум независимым выборкам y1..yn и y1..ym из генеральных совокупностей Y и Y соответственно проверить гипотезу о равенстве генеральных средних, т.е. основная гипотеза имеет вид:
Н0: М(Y)=М(Y), (28)
Построим критерий проверки этой гипотезы, основываясь на следующем соображении: так как приближённое представление о математическом ожидании даёт выборочное среднее, то в основе проверки гипотезы должно лежать сравнение выборочных средних . Найдём закон распределения разности . Эта разность является случайной величиной.
Если гипотеза Н0 верна, то
, (29)
Пользуясь свойствами дисперсии, получим:
Так как случайная величина является линейной комбинацией независимых нормально распределенных случайных величин Y1,…,Yn, Y1,…,Ym, то случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами а=0, . В качестве критерия выберем пронормированную случайную величину , т.е.
, (30)
Таким образом, если гипотеза верна , случайная величина К имеет нормальное распределение N (0,1).
Теперь зададимся уровнем значимости ? и перейдём к построению критических областей и проверки гипотезы для трёх видов альтернативной гипотезы Н1.
1)Альтернативная гипотеза имеет вид
Н1: М(Х)>М(Y). (31)
В этом случаи критическая область есть интервал (Yпр,?,+?); где критическая точка Yпр? определяется из условия Р(N(0.1)> Yпр?)=?. Подставляем числовые значения, найдём значение случайных величин и значение критерия Кнаб. Если Кнаб> Yпр?, то гипотезу Н0 отвергаем и принимаем гипотезу Н1. Поступая таким образом, можно допустить ошибку первого рода с вероятностью ?.
) Альтернативная гипотеза имеет вид
Н1: М(Y)<М(Y). (32)
В этом случаи критическая область имеет вид (-?, Yлев,?), где критическая точка Хлев,? находится из уравнения P(N(0.1)< Yлев,?)=?. Вычислим числовое значение Кнаб. Если оно попадает в критическую область, то принимается гипотеза Н1, в противном случае - гипотеза Н0.
3)Альтернативная гипотеза имеет вид
Н1: М(Y)?М(Y). (33)
В этом случае наибольшая мощность критерия достигается при двусторонней критической области, состоящей из двух интервалов (-?, Yлев,?) и (Yпр,?,+?).
Р (N(0,1)< Yлев,?/2)=?/2; (34)
P (N(0,1)> Yпр,?/2)=?/2. (35)
В силу симметрии плотности распределения N(0,1) относительно нуля имеет место лев,?/2=-Yпр,?/2. Если числовые значения критерия Кнаб, вычисленное по формуле (7), попадает в интервал (-?, Yлев,?/2) или в (Yпр,?/2,+?), то принимаем гипотезу Н1; если Yлев,?/2<Кнаб< Yпр,?/2 , то принимаем гипотезу Н0.
По двум независимым выборкам, объёмы которых равны n=15, m=50, извлечённым из нормальных генеральных совокупностей, вычислены средние значения =19,09, При уровне значимости ?=0,05 проверить гипотезу Н0: М(Y)=М(Y) при конкурирующей гипотезе
Н1: М(Y)?М(Y).
Наблюдаемое значение критерия равно
(36)
По таблице определяем Хпр,?/2 из условия
Ф(Yпр,?/2)=(1-?)/2=0,475.
Получаем Yпр,?/2=1,96, Yлев,?/2=-1,96. Так как -1,96<0.5<1.96, то наблюдаемое значение попало в область допустимых значений. Поэтому гипотеза Н0 о равенстве математ