Исследование и прогноз величин, распределенных по закону Парето
Дипломная работа - Менеджмент
Другие дипломы по предмету Менеджмент
американской, а второй - на английской статистике. В табл.1.1 дается кумулятивный ряд распределения частот доходов в США за 1919 г. и обычный ряд распределения доходов в Англии за 1911-1912 гг., относящийся к лицам с высокими доходами, причем в этой таблице, указаны как фактические данные, так и данные, полученные при помощи формулы Парето. Необходимо обратить внимание, что данные для Англии содержат неравные интервалы доходов, чем объясняется немонотонное изменение числа лиц, попадающих в такие интервалы.
Таблица 1.1 - Распределение доходов в США за 1919 г. и Англии за 1911-1912 гг.
Кумулятивный ряд распределения доходов в США за 1919 г. Ряд распределения доходов в Англии в 1911-1912 гг. Доход, х, тыс. долл. СШАЧисло лиц, имеющих доход х или больший, у, тыс. человекДоходы, х, тыс. фунтов стерлинговЧисло лиц, тыс. человекпо наблюдениямпо подсчетампо наблюдениямпо подсчетам50035 54150 7225-1075487411100023 01015 64810-1518902029150010 5127 86415-207907872 0005 2904 82720-254244383 0002 2252 42625-354113825 000842102035-4519918610 00025431545-5510310725 000626655-65705650 000212165-755037100 0007675-10011855200 00022Свыше 1008566
Рассмотрим ближе приведенные примеры распределения доходов. Упрощенное уравнение кривой Парето (1.2) мы можем представить в логарифмах:
. (1.3)
Тогда, графическое изображение такой кривой в двойной логарифмической шкале представляет собой прямую линию с угловым коэффициентом, равным (рисунок 1.2). Уравнение этой кривой, подобранной к данному ряду методом наименьших квадратов, имеет вид , или в нелогарифмической форме .
Рисунок 1.2 - Кривая Парето в двойной логарифмической шкале, по оси абсцисс отложена величина дохода, тыс. долл. США, по оси ординат - число лиц, получающих доход не менее данного
По табл.1.1 видно, что вначале кривая Парето для данных по США не совсем соответствует статистическим данным, ибо фактическое число лиц, доход которых меньше 500 долл., значительно превосходит число, подсчитанное по уравнению кривой Парето. Для более крупных доходов кривая Парето уже значительно лучше согласуется с данным рядом распределения доходов.
Для данных по Англии параметры кривой Парето, также полученной методом наименьших квадратов, приблизительно таковы: , ; уравнение этой кривой в логарифмах имеет вид: .
В. Парето, исследуя данные, характеризующие доходы в разных странах и в разные периоды, установил, что величина параметра кривой распределения доходов колеблется в пределах от 1,2 до 1,9, следовательно, в среднем .
Значение параметра можно считать некоторой мерой неравенства в распределении доходов. Чем оно больше, тем больше вогнутость гиперболы и тем больше разрыв между доходами отдельных групп населения, эту зависимость видно на рисунке 1.3.
Рисунок 1.3 - Влияние параметра на форму кривой Парето. По оси абсцисс отложены размеры доходов населения США тыс. долл. США по данным таблицы 1.1, а по оси ординат - количество лиц, получающих доход не меньше данного, А = 1925,8*106
Рассмотрим подробнее свойства кривой Парето. Как указывалось выше, эта линия в двойной логарифмической шкале принимает вид прямой. Параметр показывает угол наклона этой прямой и эластичность функции распределения доходов:
. (1.4)
Таким образом, если принять для распределения доходов среди населения Украины, а нижний предел дохода 1000 грн., тогда при увеличении этого предела на 10%, т.е. до 1100 грн., число лиц, получающих такой доход или больше уменьшится на 15% относительно первоначально взятого предела в 1000 грн.
Рассмотрим, произведение ху, характеризующее общий доход числа лиц, получающих доход х и более. Логично предположить, что с ростом х эта величина будет убывать. Найдем производную этого выражения по х:
. (1.5)
С учетом вышесказанного можно сделать вывод о том, что для распределения доходов , иначе с ростом х величина общего дохода будет также возрастать, что невозможно.
1.2 Закон Парето
Рассмотрим еще одно важное свойство кривой Парето. Из выражения (1.4) получаем:
. (1.6)
Если принять фиксированное значение dx, то с ростом величины дохода х, относительная величина отсева лиц, имеющих доход равный или больше х, будет уменьшаться, так как она пропорциональна относительному увеличению дохода , которое, естественно, уменьшается. Это свойство можно выразить следующим образом: переход в высший класс доходов легче для лиц, уже достигших высокого уровня доходов, чем для людей, имеющих низкий доход. Легкость перехода в высшую группу растет пропорционально имеющемуся доходу. Если представить себе ряд уровней дохода, разделенных "ситами", затрудняющими движение вверх, то эти "сита" задерживают тем меньше людей, чем выше доход, причем процент "отсева" падает пропорционально размерам дохода.
В этом случае наблюдается то же, что и на экзаменах на разных курсах обучения. Наиболее крупный процент "отсева" в ходе экзаменов имеет место на первом курсе, на втором он меньше, на третьем еще меньше и т.д.
Пропорциональное доходу уменьшение относительного спада ("отсева") числа лиц при переходе ко все большим и большим доходам составляет сущность закона Парето. Сам факт, выраженный законом Парето, не вызывает удивления. Если, например, переход к высшему классу доходов происходит путем накопления, то, действительно, при той же норме накопления, рост дохода будет пропорционален данному уровню дохода.
Из эмпирически установленной им закономернос?/p>