Использование теории мультимножеств в процессе построения UFO-моделей
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
обозначает кратность вхождения признака qses. Например, при многокритериальной оценке объекта Ai несколькими экспертами число kAi(qses) равно числу экспертов, давших объекту Ai оценку qses по критерию Qs. Объект Ai можно записать и более единообразно как Ai = {kAi(x1)*x1, тАж, kAi(xh)*xh}, определив элементы множества G = {x1, тАж, xh} следующим образом:
= q11, x2 = q12, тАж, xh1 = q1h1,+1 = q21, xh1+2 = q22, тАж, xh1+h2 = q2h2, тАж,+тАж+h(m-1)+1 = qm1, xh1+тАж+h(m-1)+2 = qm2, тАж, xh1+тАж+hm = qmhm,
где h = h1 + тАж + hm. Множество G характеризует свойства совокупности объектов A = {A1, тАж, An}. Такая запись объектов Ai представляет их как множества с повторяющимися элементами xj G или мультимножества.
1.3 Основные понятия теории мультимножеств и операции над ними
Дадим краткий обзор теории мультимножеств [17, 20]. Мультимножеством A, порожденным обычным множеством G = {x1, x2, тАж}, все элементы которого различны, называется совокупность групп элементов вида A = {kA(x)*x | x G, kA(x) Z+}. Здесь kA : G Z+ = {0, 1, 2, тАж} называется функцией числа экземпляров мультимножества, определяющей кратность вхождения элемента xi G в мультимножество A, что обозначено символом *. Если kA(x) = cA(x), где cA(x) = 1 при x A и cA(x) = 0 при x A, то мультимножество A становится обычным множеством A. Обычное множество SuppA = { x | x G, cSuppA(x) = min(kA(x), 1)} называется носителем мультимножества A. Мощность мультимножества |A| = SxkA(x) определяется как общее число экземпляров всех его элементов; размерность мультимножества /A/ = SxcA(x) = |SuppA| - как общее число различных элементов. Мультимножество называется пустым , если k(x) = 0, постоянным C[t], если kC[t](x) = t = const, и максимальным Z, если kZ(x) = maxAA kA(x), " x G. Величина hgtA = maxxG kA(x) называется высотой мультимножества. Обычное множество A является, таким образом, постоянным мультимножеством A[1] высоты hgtA = 1.
Вводятся следующие операции над мультимножествами [21]:
Объединение
A B = {kAB(x)*x | kAB(x) = max (kA(x), kB(x))};
Пересечение
A B = {kAB(x)*x | kAB(x) = min (kA(x), kB(x))};
сложение
A + B = {kA+B(x)*x | kA+B(x) = kA(x) + kB(x)};
вычитание
A - B = {kA-B(x)*x | kA-B(x) = kA(x) - kAB(x)};
симметрическая разность
A D B = {kADB(x)*x | kADB(x) = |kA(x) - kB(x)|};
дополнение
-A = Z - A = {k-A(x)*x | k-A(x) = kZ(x) - kA(x)};
умножение на число
t*A = {kt*A(x)*x | kt*A(x) = t*kA(x), tZ+};
умножение
A * B = {kA*B(x)*x | kA*B(x) = kA(x) * kB(x)};
n-я степень
An = {kAn(x)*x | kAn(x) = (kA(x))n};
прямое произведение
A B = {kAB(x)*(xi, xj) | kAB(x) = kA(xi) * kB(xj), xiA, xjB};
прямая n-я степень
(A)n = {k(A)n(x)*(x1, тАж, xn) | k(A)n(x) = kA(x1) * тАж * kA(xn), xiA}.
Носители операций над мультимножествами удовлетворяют следующим соотношениям:
Supp(AB) = Supp(A+B) = (SuppA) (SuppB);(AB) = Supp(A*B) = (SuppA) (SuppB);(ADB) = (Supp(A-B)) (Supp(B-A));(t*A) = SuppA = Supp(An);(AB) = (SuppA) (SuppB);(A)n = (SuppA)n.
Существует двойственность операций над мультимножествами, аналогичная законам де Моргана для множеств:
-(AB) = -(A) -(B);
(AB) = -(A) -(B);
(A+B) = -(A) - B = -(B) - A;
-(A-B) = -(A) + B;
(A) - -(B) = B - A.
Некоторые свойства, которыми обладают операции над множествами, у мультимножеств отсутствуют. В то же время появляются новые свойства, не имеющие аналогов для множеств. Например:+ -A = Z;- -A = A; -A Z; -A ;- -A -A - A .
При переходе от мультимножеств к множествам и замене kA(x) на cA(x) многие из выше сформулированных утверждений для мультимножеств останутся справедливыми и для множеств, но некоторые из них могут изменить или потерять смысл. Например, операции арифметического сложения и умножения на число для множеств неопределимы, вычитание множеств определяется иначе, а арифметическое умножение множеств будет совпадать с их пересечением [21].
.4 Практическое применение теории мультимножеств
.4.1 Задача конкурсного отбора
Рассмотрим важную практическую задачу конкурсного отбора проектов для их финансирования из некоторого фонда или для включения в состав программы, направленной на решение какой-либо важной проблемы (научно-технической, экономической, экологической, производственной). Каждая конкурсная заявка Ai (i = 1, тАж, k) независимо оценивается несколькими экспертами по определенным критериям. Такими критериями могут быть, например:
важность проекта для программы (Q1);
перспективность проекта (Q2);
новизна подхода к решению поставленных задач (Q3);
квалификация исполнителей проекта (Q4);
ресурсное обеспечение работ (Q5);
возможность быстрого выхода результатов в практику (Q6).
Каждый критерий имеет порядковую или номинальную шкалу оценок с развернутыми словесными формулировками градаций качества. Так, шкала оценок по критерию Q6 выглядит следующим образом (рис. 2.1):
результаты будут обладать достаточной степенью технологичности, обеспечивающей их быстрое использования в практике (q61);
для использования запланированных результатов на практике потребуются дополнительные исследования и разработки (q62);
результаты будут носить в основном теоретический характер (q63).
Рисунок 1.1 - Шкала критерия Q6
Каждый эксперт, наряду с оценкой заявки по всем критериям, дает одну из следующих рекомендаций:
включить проект в программу (r1);
отклонить проект (r2);
отложить рассмотрение заявки и отправить проект на доработку (r3).
Указанные рекомендации экспертов являются, по существу, правилами предварительной классификации (сортировки) множества рассматриваемых ?/p>