Замечательные кривые
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
sp;
Решение: Дополнив члены, содержащие у до полного квадрата, получим
, или ,
т.е. центр окружности в точке , а ее радиус .
Упражнения:
Задание 1. Написать уравнение окружности, зная, что:
а) центр окружности лежит в точке (-2;-3) и радиус ее равен 3 единицам длины;
б) центр лежит в точке (2;-3) и окружность проходит через точку (5;1).
а) _____________________________________________
б)_____________________________________________
______________________________________________
Задание 2. Какие значения должны иметь коэффициенты уравнения
,
Чтобы оно определяло окружность радиуса 5 с центром в точке (3;2)?
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 3. Определить координаты центра и радиус окружности, выражаемой уравнением:
а)
Решение:
Дополнив члены, содержащие и у до полного квадрата, получим:
_________________________ или ________________
т.е. центр окружности в точке О(_; _ ), а ее радиус __.
б)
Разделим уравнение на __, чтобы коэффициенты, стоящие перед и равнялись 1, получим: ______________________
Дополнив члены, содержащие и у до полного квадрата, получим:
_________________________ или ________________
т.е. центр окружности в точке О(_; _ ), а ее радиус __.
Задание 4. Определить координаты центра и радиус окружности, выражаемой уравнением и начертить данную окружность:
а)
_______________________________________________________________________________________________________________________________
(_;_ ) R=
а)
б)
______________________________________________________________________________________________________________________________
О(_; _) R=
б)
Эллипс
Определение: Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых_____________________________________________________________________________________________________________________________
Каноническое уравнение эллипса имеет вид: ________________
При a = b фокусы F1 и F2 ________________, и указанное уравнение определяет ______________.
Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение ____________________________________________________________________________________________________________________________________
Эксцентриситет характеризует ______________ эллипса. В случае окружности b=a и ?= __.
Определение: Директрисами эллипса называются две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и ____________________________________________________________________________________________________________________________________
Пример 1. Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса
.
Решение:
Разделив обе части уравнения на 192, получим уравнение эллипса в виде:
.
Заключаем, что , . Следовательно, а = 8, b = . Отсюда
, т.е. и .
Значит,
.
Пример 2. Привести уравнение эллипса к каноническому виду. Определить полуоси и центр данной кривой.
Решение:
Дополнив члены, содержащие и у до полного квадрата, получим:
или .
Разделив обе части уравнения на 36, получим каноническое уравнение эллипса:
Следовательно данный эллипс с полуосями и имеет центр в точке
Пример 1. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки М1 (2; 3) и М2 (1; ).
Решение: Пусть искомое уравнение эллипса имеет вид:
Координаты данных точек удовлетворяют этому уравнению. Подставив вместо х и у сначала координаты точки М1, а затем координаты точки М2, получим систему уравнений
Полагая = m; = n, приходим к системе
решив которую, найдем m = , n = , откуда а2 = 16, b2 = 12. Следовательно, искомое уравнение эллипса имеет вид
Упражнения:
Задание 1. Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что:
а) полуоси его равны соответственно 5 и 4
_____________________________________________________________
б) расстояние между фокусами равно 8 и большая ось равна 10;
Решение:
По условию с = __; а = __. Следовательно, b = ______________
Простейшее уравнение эллипса примет вид: _____________
в) малая полуось равна 2 и расстояние между фокусами равно 6;
Решение:
По условию с = __; b = __. Следовательно, а = ______________
Простейшее уравнение эллипса примет вид: _____________
г) большая полуось равна 10 и эксцентриситет ;
Решение:
По условию а = __; . Значит,
Простейшее уравнение эллипса примет вид: _____________
д) малая полуось равна 6 и эксцентриситет равен 0,8;
Решение:
_____________________________________________________________
Ответ: ____________
е) эксцентриситет равен 0,8 и расстояние между фокусами равно 8;
Решение:
По условию с = __; . По определению эксцентриситета, найдем длину большой полуоси а = ____________.
Затем, по формуле = ____________
Простейшее уравнение эллипса примет вид: _____________
Задание 2. Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса: а) ;
Решение:
Разделив обе части уравнения на ____ , получим уравнение эллипса в виде: ____________. Заключаем, что __, __ . Следовательно, а = __, b = __. Отсюда _______________, т.е. F1 (__; __ ) и F2 (__; __ ). Значит, .
б)
Решение:
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 3. Определить эксцентриситет эллипса, если:
а) его большая ось втрое больше малой;
Решение:
Т.к. большая ось втрое больше малой, тогда b = ___, с = _____________
Тогда _____.
б) его оси относятся, как
Решение:
_______________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 4. Дан эксцентриситет эллипса . Найти отношение его полуосей. Как величина эксцентриситета характеризует форму ?/p>