Замечательные кривые
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
и цепная линия используется в расчетах, связанных с провисанием нитей - проводов, тросов. В строительной технике она находит применение при проектировании сводов зданий. Форму цепной линии имеют и висячие мосты, у которых только две крайние опоры. Кстати, если цепь висячего моста поддерживает настил моста с помощью ряда вертикальных стержней, то висячий мост будет иметь форму параболы. (М. в шк. №8 2004)
6. Циклоидальные кривые
п.1. Астроида
Астроида представляет собой траекторию точки, лежащей на окружности круга радиуса r, который катится по внутренней стороне другого, неподвижного круга, радиус R которого в четыре раза больше. Астроида - кривая шестого порядка. (Далингер)
Параметрические уравнения астроиды: (2)
где , как и ранее, угол поворота производящего круга (рис.9). Исключая из уравнений (2) параметр , получим:
(3)
Рис.9.
Параметрические уравнения (2) астроиды можно привести к виду:
Исключая из этих уравнений параметр , получим часто употребляемый вид уравнения астроиды: .
Радиус кривизны в произвольной точке астроиды определяется по формуле:
.
кривая уравнение парабола гипербола
Длина дуги астроиды от точки А до произвольной точки M(t) определится по формуле:
.
Длина одной ветви равна , а длина всей кривой 6R;
Площадь, ограниченная всей астроидой, равна
п.5. Циклоида
Циклоида (от греч. слова kykloeides - кругообразный) - плоская кривая. Циклоиду можно определить как траекторию точки, лежащей на окружности круга единичного радиуса (производящего круга), который без скольжения катится по прямой (направляющей прямой) (М.в шк.2004 №8).
Приложим к нижнему краю классной доски линейку и будем катить по ней обруч или круг (картонный или деревянный), прижимая его к линейке и к доске. Если прикрепить к обручу или кругу кусок мела (в точке соприкосновения его с линейкой), то мел будет вычерчивать кривую (рис. 37), называемую циклоидой. Одному обороту обруча соответствует одна арка циклоиды MM'M''N', если обруч будет катиться дальше, то будут получаться еще и еще арки той же циклоиды.
Рис.37
Построим приближенно одну арку циклоиды, описанную при качении круга на данной прямой. Разделим этот отрезок на некоторое число равных частей, например на 6, и для каждой точки деления изобразим наш круг в том его положении, когда он опирается именно на данную точку (рис. 38), занумеровав эти положения цифрами: О, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Чтобы перейти из одного положения в соседнее, круг должен повернуться на одну шестую полного оборота (т.к расстояние между соседними точками деления равно шестой части окружности). Поэтому если в положении 0 мел будет находиться в точке М0, то в положении 1 он будет лежать в точке M1 - на одной шестой окружности от точки касания, в положении 2 - в точке М2 - на две шестых от точки касания и т. д. Чтобы получить точки M1, M2, М3 и т.д., нужно лишь производить засечки соответствующей окружности, начиная от точки касания
Рис.38
Одной из замечательных задач, решенных в 17в., была следующая: В вертикальной плоскости найти такую кривую, что время, потребное для того, чтобы тяжелая материальная точка, двигаясь по этой кривой, спустилась до определенного уровня, не зависело от исходного положения этой материальной точки на кривой. Говоря научным языком, чтобы период точки колебаний не зависел от амплитуды колебаний. Искомой кривой, если пренебрегать действием силы трения, оказалась циклоида. (М.в шк. 2004№8). Используя это свойство, Х.Гюйгенс сконструировал часы.
Циклоиду открыл и предложил это название Галилей; во Франции ее называли трохоидой, или рулеттой. Блез Паскаль писал: Рулетта является линией столь обычной, что после прямой и окружности нет более часто встречающейся линии; она так часто вычерчивается перед глазами каждого, что надо удивляться тому, как рассмотрели ее древние..., ибо это ни что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздем колеса, когда оно катится своим движением с того момента, когда гвоздь начал подниматься от земли, до того, непрерывное качение колеса не приводит его опять к земле после окончания целого оборота (Гиндикин С.Г.)
Длина арки циклоиды равна восьми радиусам производящего круга.
Уравнение циклоиды: . (Мат. энц. словарь)
Пояснительная записка
Данная рабочая тетрадь разработана по теме: Кривые. Она представляет собой систему занятий, предназначенных для работы со студентами первого и второго курсов математического факультета и просто людей, увлекающихся математикой. Рабочая тетрадь призвана помочь всем желающим пополнить и углубить свои знания в области геометрии. Данная рабочая тетрадь состоит из 10 занятий. После изучения данного курса учащиеся должны научиться, определять является ли функция решением дифференциального уравнения, решать простейшие дифференциальные уравнения, находить частные решения дифференциального уравнения, а также решать задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
Основные сведения
Окружность - замкнутая плоская кривая, все точки которой __________________________________________________________________Окружность с центром в точке и радиусом имеет уравнение в прямоугольных координатах:
_____________________
Параметрические уравнения окружности:
Уравнение окружности в полярных координатах:
Пример 1: Найти координаты центра и радиус окружности
.
&nb