Замечательные кривые
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
и равно квадрату половины расстояния между ними. Ее автор - швейцарский математик Якоб Бернулли (1654-1705) дал этой кривой поэтическое название лемниската. В античном Риме так называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. (Энц.словарь юного математика)
Лемниската Бернулли - алгебраическая кривая 4-го порядка. Уравнение в прямоугольных координатах:
(Далингер В)
В полярных координатах:
Если длина отрезка есть , то расстояния от середины отрезка до и равны и произведение этих расстояний равно Потребуем сначала, чтобы величина неизменного произведения равнялась как раз ; тогда точка будет лежать на лемнискате, а сама лемниската будет иметь вид лежащей восьмерки (рис. 3).
Кривая симметрична относительно осей и начала координат, которое является узловой точкой с касательными и точкой перегиба. Радиус кривизны: Площадь каждой петли (Математический энц .словарь)
Если продолжить отрезок в обе стороны до пересечения с лемнискатой, то получим две точки и . Выразим расстояние между через известное расстояние :
Если величину неизменного произведения взять не равной , то лемниската изменит свой вид. И при меньше , лемниската состоит из двух овалов, каждый из которых содержит точки и , соответственно (рис.4).
Рис.4.
Т.о. задавая различные условия для и будем получать лемнискаты различного вида (рис. 5).
Рис.5.
В технике лемниската используется, в частности, в качестве переходной кривой на закруглениях малого радиуса, как это имеет место на железнодорожных линиях в горной местности и на трамвайных путях. Таким образом, она обеспечивает плавность закругления, без которой центробежная сила, действующая на поезд, возрастала бы резко, доставляя неудобство пассажирам.
п.4. Кардиоида
Кардиоида - алгебраическая кривая четвертого порядка (рис.11). Уравнение в прямоугольных координатах:
(Далингер В.А., Мат. энц. Сл.).
Кардиоиду можно определить как траекторию точки, лежащей на окружности круга радиуса , который катится по окружности неподвижного круга с таким же радиусом.
Параметрические уравнения кардиоиды:
(1)
Рис.6
Чтобы получить полярное уравнение кардиоиды, удобно принять за полюс точку А (рис.6), а полярную ось направить по оси абсцисс. Так как четырехугольник будет равнобедренной трапецией, то полярный угол точки М окажется равным углу поворота производящего круга, т. е. параметру . Учитывая это обстоятельство, заменим во втором уравнении системы (1) через . Сокращая полученное таким образом равенство на , получим полярное уравнение кардиоиды
Кардиоида симметрична относительно оси Ох. Точка с координатами - точка возврата.
Свойства кардиоиды:
. Касательная в произвольной точке кардиоиды проходит через точку окружности производящего круга, диаметрально противоположную точке касания кругов, а нормаль - через точку их касания.
. Угол m, составляемый касательной к кардиоиде с радиус-вектором точки касания, равен половине угла, образуемого этим радиус-вектором с полярной осью. Действительно
откуда
Из этого соотношения непосредственно вытекает, что угол, составляемый касательной к кардиоиде с осью абсцисс, равняется (как внешний угол треугольника AMN Рис.6).
Заметим еще, что геометрическое место точек пересечения касательных есть окружность Действительно, уравнение первой касательной на основании уравнений (1) кардиоиды, будет иметь вид , а второй касательной
Исключая из этих уравнений параметр, получим уравнение указанной окружности.
Рис.7.
. Радиус кривизны в произвольной точке кардиоиды определится по формуле:
. Длина дуги от точки А до точки М:
;
. Площадь, ограниченная кардиоидой, определится по формуле:
и, как видно, равна ушестеренной площади производящего круга. Длина всей кардиоиды определится по формуле:
и, как видно, равна восьми диаметрам производящего круга.
5. Трансцендентные кривые
п.4. Цепная линия
Цепная линия - одна из тех плоских кривых, которые мы повседневно наблюдаем, возможно не задумываясь об ее форме. Свое название цепная линия получила из-за того, что любая гибкая, тяжелая нерастяжимая струна, закрепленная на концах, является частью цепной линии, как, например, провод электропередачи. (Энц.словарь юного математика)
Вопрос о форме кривой провисания связан с известным заблуждением Галилея, который также ошибочно полагал, что эта кривая будет обычной параболой (1638). Гюйгенс опроверг это утверждение, а в 1699г. был поставлен интересный эксперимент, который убедительно показал, что кривая провисания и парабола - разные по своей природе кривые. Цепная линия отличается от параболы, в частности, тем, что при крутизна цепной линии увеличивается несравненно быстрее, чем у параболы.(М. в шк №8)
Рис.8.
Уравнение цепной линии: (Далингер) МК касательная к цепной линии (рис.8).
Свойства цепной линии:
длина дуги цепной линии от ее вершины (точки пересечения цепной линии с осью ординат) до точки М(х;у)равна ;
площадь, ограничиваемая цепной линией, двумя ординатами и осью абсцисс, пропорциональна длине соответствующей дуги.
В области техник