Замечательные кривые
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
? верхней полуплоскости. Для этой части у ? 0, поэтому, разрешая уравнение (24) относительно у, получаем:
у = (25)
Из равенства (25) вытекают следующие утверждения:
1.если х < 0, то уравнение (25) дает мнимые значения у и поэтому левее оси Оу ни одной точки параболы нет;
2.если х = 0, то у = 0, т.е. начало координат лежит на параболе и является самой левой ее точкой;
3.при возрастании х возрастает и у, причем если х > +?, то и у > +?.
Таким образом, переменная точка М(х; у), перемещающаяся по параболе, исходит из начала координат и с ростом х движется вправо и вверх, причем при х > +? точка М бесконечно удаляется как от оси Оу, так и от оси Ох.
Симметрично отражая рассмотренную часть параболы относительно оси Ох, получаем всю параболу (рис.10, а), заданную уравнением (24).
Рис.10
Точка О называется вершиной параболы, ось симметрии (ось Ох) - осью параболы. Число р, т.е. параметр параболы, как известно, выражает расстояние от фокуса до директрисы. Выясним, как влияет параметр параболы на ее форму. Для этого возьмем какое-нибудь определенное значение абсциссы, например, , и из уравнения (24) найдем соответствующие значения ординаты: у = . Получаем на параболе две точки М1(1; ) и М2(1; -), симметричные относительно ее оси; расстояние между ними равно . Отсюда заключаем, что это расстояние тем больше, чем больше р. Следовательно, параметр р характеризует ширину области, ограниченной параболой. В этом и состоит геометрический смысл параметра р.
Парабола, уравнение которой у2 = -2рх, р > 0, расположена слева от оси ординат (Рис.10, б). Вершина этой параболы совпадает с началом координат, осью симметрии является ось Ох.
2. Кривые третьего порядка
п.1.Анъези локон
Рис.1
Это плоская алгебраическая кривая 3-го порядка (Рис.1.). Уравнение в прямоугольных координатах:
.
Если а - диаметр окружности с центром в точке (0;), OD - секущая, ВМ параллельна оси Ох, АМ - оси Оу. Максимум С(0;а), радиус кривизны в нем R=(радиус производящей окружности). Локон Анъези имеет две точки перегиба (), асимптоту - ось Ох. Площадь между кривой и асимптотой .
Данная кривая названа по имени М. Анъези, изучавшей эту кривую (1748г).
п.2. Декартов лист
Рис.2
Впервые в истории математики кривая, названная впоследствии декартовым листом, определяется в письме Декарта к Ферма в 1638 г. как кривая, для которой сумма объемов кубов, построенных на абсциссе и ординате каждой точки, равняется объему параллелепипеда, построенного на абсциссе, ординате и некоторой константе. Форма кривой устанавливается впервые Робервалем, который находит узловую точку кривой, однако в его представлении кривая состоит лишь из петли. Повторяя эту петлю в четырех квадрантах, он получает фигуру, напоминающую ему цветок с четырьмя лепестками. Поэтическое название кривой лепесток жасмина, однако, не привилось. Полная форма кривой с наличием асимптоты была определена позднее (1692) Гюйгенсом и И. Бернулли. Название декартов лист прочно установилось только с начала 18 века.
Декартовым листом называется кривая 3-го порядка, уравнение которой в прямоугольной системе имеет вид:
(1) (Далингер В.А.)
Иногда удобно пользоваться параметрическими уравнениями декартова листа, которые можно получить, полагая , присоединяя к этому равенству равенство (1) и решая полученную систему относительно х и у, в результате будем иметь: откуда следует, что декартов лист является рациональной кривой.
Заметим еще, что полярное уравнение декартова листа имеет вид:
Координаты х и у входят в уравнение декартова листа симметрично, откуда следует, что кривая симметрична относительно биссектрисы . Обычное исследование на особые точки приводит к заключению, что начало координат является узловой точкой декартова листа. Уравнения касательных к алгебраической кривой в ее особой точке, совпадающей с началом координат, можно получить, как известно, приравнивая к нулю группу членов низшей степени из уравнения этой кривой. В нашем случае имеем откуда получим и - искомые уравнения касательных в узловой точке. Эти касательные совпадают с координатными осями и, следовательно, в начале координат кривая пересекает сама себя под прямым углом. Легко видеть, что в первом координатном угле кривая делает петлю, которая пересекается с прямой в точке .
Точки этой петли, в которых касательные параллельны координатным осям, имеют координаты и (cм. рис. 2).
Для окончательного заключения о форме кривой следует еще найти асимптоту Заменяя в уравнении кривой на приравняем к нулю в полученном уравнении коэффициенты двух членов с высшими степенями х. Получим и откуда и Таким образом, декартов лист имеет асимптоту следовательно, во 2-м и 4-м координатных углах ветви декартова листа уходят в бесконечность.
Определяя площадь, ограниченную петлей декартова листа, получим:
3. Кривые четвертого порядка
п.1. Бернулли лемниската
Лемниската Бернулли - одна из самых замечательных алгебраических линий. Из вида уравнения кривой следует, что кривая состоит из двух симметричных лепестков (по внешнему виду эта кривая напоминает перевернутую восьмерку или бантик).(Математика в школе 2001 №1).
Рис.3
Лемниската - кривая, у которой произведение расстояний каждой ее точки до двух заданных точек - фокусов - постоянно