Економічне прогнозування
Методическое пособие - Экономика
Другие методички по предмету Экономика
°вити у формі:
або
де = lnb, е = 2,718 основа натурального логарифма, lne = 1.
Експоненти приводяться до лінійного виду заміною yt десятковими або натуральними логарифмами:
lgY =lga + tlgb, |
lnY = lna + tlne = lna + t,
lnY = lnea + lnebt = lna + lnbt = lna + t .
Оцінювання параметрів трендових рівнянь найчастіше здійснюється методом найменших квадратів (MHK), основною умовою якого є мінімізація суми квадратів відхилень фактичних значень yt від теоретичних Yt, визначених за трендовим рівнянням :
.
Параметри поліноміального тренда визначаються безпосередньо розвязуванням систем p + 1 нормальних рівнянь. Експонента, як показано вище, приводиться до лінійного виду логарифмуванням; розраховані параметри підлягають потенціюванню.
Виявлену тенденцію можна продовжити за межі динамічного ряду Така процедура називається екстраполяцією тренда. Принципова можливість екстраполяції ґрунтується на припущенні, що умови, які визначали тенденцію у минулому, не зазнають істотних змін у майбутньому. Формально операцію екстраполяції можна представити як визначення функції:
,
де Yt+v прогнозне значення на період упередження v; база екстраполяції, найчастіше це останній, визначений за трендом рівень ряду.
Екстраполяція тренда дає точковий прогноз. Очевидно, що влучення в точку малоймовірне. Адже тренду властива невизначеність, передусім через похибки параметрів. Джерелом цих похибок є обмежена сукупність спостережень yt, кожне з яких містить випадкову компоненту et,. Зсунення періоду спостереження лише на один крок веде до зсунення оцінок параметрів. Випадкова компонента буде присутня і за межами динамічного ряду, а отже, її необхідно врахувати. Для цього визначають довірчий інтервал, який би з певною ймовірністю окреслив межі можливих значень Yt + v Точковий інтервал перетворюється в інтервальний. Ширина інтервалу залежить від варіації рівнів динамічного ряду навколо тренда та ймовірності висновку (1 - а):
Де Sp середня квадратична похибка прогнозу, значення якої залежить від дисперсії тренда та дисперсії відхилень від тренда . Зокрема, для лінійного тренда
.
Якщо база прогнозування останній рівень ряду, то , a замінюється на . Після нескладних алгебраїчних перетворень похибку прогнозу за лінійним трендом можна представити так:
або, позначивши підкореневий вираз символом z, sp = sez.
Тобто похибка прогнозу залежить від залишкової дисперсії , довжини динамічного ряду (передісторії) n та періоду упередження v. Чим довший період передісторії, тим похибка менша, а збільшення періоду упередження, навпаки, веде до зростання похибки прогнозу.
Прогнозування повних циклів
Свої особливості має моделювання динамічних процесів з ефектом насичення, коли темпи зростання (зниження) уповільнюються і рівень наближується до певної межі (питомі витрати ресурсів, споживання продуктів харчування на душу населення тощо). Для їх описування використовують клас кривих, що мають горизонтальну асимптоту . Найпростішою з-поміж них є модифікована експонента:
де параметр а різниця між ординатою Yt, при t = 0 та асимптотою K. Якщо a 0 асимптота нижче кривої. Параметр b характеризує співвідношення послідовних приростів ординати. За умови рівномірного розподілу ординати по осі часу ці співвідношення є сталими:
.
Модифікована експонента описує процеси, на які діє певний обмежувальний фактор, і вплив цього фактора зростає зі зростанням Yt. У разі, коли обмежувальний фактор впливає лише після певного моменту, до якого процес розвивався за експоненційним законом, то такий процес найкраще апроксимується S-подібною функцією з точкою перегину P, в якій прискорене зростання змінюється уповільненням. Наприклад, попит на новий товар попервах незначний; потім, після визнання споживачами, він стрімко зростає, але у міру насичення ринку темпи зростання уповільнюються, згасають. Попит стабілізується на певному рівні. Аналогічні фази розвитку мають процеси нововведень і винаходів, ефективність використання ресурсів тощо. З-поміж S-подібних кривих, що описують повний цикл розвитку, найпоширенішою є функція Перла-Ріда логістична крива:
.
Якщо показник процесу частка, що змінюється в межах від 0 до 1, то формула логістичної функції спрощується:
.
У страховій і демографічній статистиці використовують іншу S-подібну функцію криву Гомперца: або в логарифмах
.
Тобто крива Гомперца приводиться до модифікованої експоненти, у якої сталими є відношення приростів ординат у логарифмах.
Оцінювання параметрів функцій, які мають асимптоти, порівняно з поліномами та експонентами значно складніше. Тут можливі два варіанти.
За першим варіантом асимптота у вигляді нормативу, стандарту тощо визначається апріорі . Тоді модифіковану експоненту можна представити так:
.
Замінивши на z і прологарифмувавши рівняння, дістанемо лінійну функцію логарифмів lgz = lga + tlgb. Ан