Дослідження нестандартних методів рішення рівнянь і нерівностей.
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
Дипломна робота:
Дослідження нестандартних методів рішення рівнянь і нерівностей.
ЗМІСТ
ВВЕДЕННЯ
1 ІСТОРИЧНА ДОВІДКА
2 РІШЕННЯ ЗАДАЧ ІЗ ВИКОРИСТАННЯМ ВЛАСТИВОСТЕЙ ФУНКЦІЇ
2.1 Використання монотонності функції
2.2 Використання обмеженості функції
2.3 Використання періодичності функції
2.4 Використання парності функції
2.5 Використання ОПЗ функції
3 ДЕЯКІ ШТУЧНІ СПОСОБИ РІШЕННЯ РІВНЯНЬ
3.1 Множення рівняння на функцію
3.2 Угадування кореня рівняння
3.3 Використання симетричності рівняння
3.4 Дослідження рівняння на проміжках дійсної осі
ВИСНОВОК
ДОДАТОК
СПИСОК ДЖЕРЕЛ
ВВЕДЕННЯ
Не всяке рівняння або нерівність у результаті перетворень або за допомогою вдалої заміни змінної може бути зведене до рівняння (нерівності) того або іншого стандартного виду, для якого існує певний алгоритм рішення. У таких випадках іноді виявляється корисним використовувати інші методи рішення, мова про які й піде в ході даної роботи. Вище сказане визначає актуальність дипломної роботи. Обєкт дослідження - рівняння й нерівності, що не піддаються рішенню за допомогою стандартних методів, або що відрізняються громіздкістю стандартного рішення.
Метою даної роботи є ознайомлення з нестандартними методами рішення рівнянь і нерівностей.
Для досягнення поставленої мети в даній роботі вирішувалися наступні задачі:
Зібрати відомості з історії математики про рішення рівнянь.
Розглянути й застосувати на практиці методи рішення рівнянь і нерівностей, засновані на використанні властивостей функції.
Розглянути й застосувати на практиці додаткові нестандартні методи рішення рівнянь і нерівностей
Практична значимість роботи полягає в тому, що не завжди при рішенні складних рівнянь або нерівностей варто йти по торованій колії, намагаючись знайти рішення у чоло: досить лише глянути на нього й знайти зачіпку, що дозволяє уникнути складних обчислень і перетворень. Дипломна робота складається із введення, трьох глав і списку використаних джерел. У першому розділі наведені деякі відомості з історії математики про рішення рівнянь. У другому розділі розглянуті методи рішення, засновані на використанні властивостей функції. Третій розділ присвячений розгляду додаткових (штучних) методів рішення.
1 ІСТОРИЧНА ДОВІДКА
Рівняння й системи рівнянь математики вміли вирішувати дуже давно. В Арифметиці грецького математика з Олександрії Диофанта (III в.) ще не було систематичного викладу алгебри, однак у ній утримувався ряд задач, розвязуваних за допомогою складання рівнянь. Є в ній така задача:
Знайти два числа по їхній сумі 20 і добутку 96. [16]
Щоб уникнути рішення квадратного рівняння загального виду, до якого приводить позначення одного із чисел буквою і яке тоді ще не вміли вирішувати, Диофант позначав невідомі числа 10 + х і 10-х (у сучасному записі) і одержував неповне квадратне рівняння 100-х2 = 96, для якого вказував лише позитивний корінь 2.
Задачі на квадратні рівняння зустрічаються в працях індійських математиків уже з V в. н.е.
Квадратні рівняння класифікуються в трактаті Коротка книга про вирахування алгебри й алмукабали Мухаммеда аль-хорезми (787 - ок. 850). У ньому розглянуті й вирішені (у геометричній формі) 6 видів квадратних рівнянь, що містять в обох частинах тільки члени з позитивними коефіцієнтами. При цьому розглядалися тільки позитивні коріння рівнянь.
У роботах європейських математиків XIII XVI ст. даються окремі методи рішення різних видів квадратних рівнянь. Злиття цих методів у загальне правило зробив німецький математик Михаель Штифель (1487 - 1567), що розглядав уже й негативні коріння.
У найвідомішому російському підручнику Арифметика Леонтія Пилиповича Магницького (1669-1739) було чимало задач на квадратні рівняння. От одна з них:
Якийсь генерал хоче з 5000 чоловік баталію вчинити, і щоб та була в особі вдвічі, ніж осторонь. Кілько баталія буде мати в особі й осторонь?, тобто скільки солдатів треба поставити по фронті й скільки їм у тил, щоб число солдатів по фронту було в 2 рази більше числа солдат, розташованих їм у тилу?
У вавилонських текстах (3000 - 2000 років до н.е.) зустрічаються й задачі, розвязувані тепер за допомогою систем рівнянь, що містять і рівняння другого ступеня. Приведемо один з них:
Площі двох своїх квадратів я склав: 25 . Сторона другого квадрата дорівнює сторони першого й ще 5.
Відповідна система в сучасному записі має вигляд:
Цю задачу вавилонський автор вирішує правильно методом, що ми тепер називаємо методом підстановки, але він ще не користувався алгебраїчною символікою.
В XVI в. французький математик Франсуа Виет (1540 - 1603), що служив шифрувальником при дворі французького короля, уперше ввів літерні позначення не тільки для невідомих величин, але й для даних, тобто коефіцієнтів рівнянь. Ф. Виет для позначення нерозшифрованих букв у повідомленнях супротивника використовував рідкі букви латинського алфавіту х, у и z, що й поклало початок традиції позначати невідомі в рівняннях буквами х, у и z. Особливо цінував Виет відкриті їм формули, які тепер називаються формулами Виета. Однак сам Виет визнавав тільки позитивних корінь.
Лише в ХVII в. після робіт Декарта, Ньютона й інших математиків рішення квадратних рівнянь прийняло сучасний вид.
Повернемо?/p>