Дослідження нестандартних методів рішення рівнянь і нерівностей.
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
а, може мати не більше одного рішення на проміжку Т.
2. Нехай f(x) і g(х) - безперервні на проміжку T функції, f(x) строго зростає, а g(х) строго убуває на цьому проміжку, тоді рівняння f(х) = =g(х) може мати не більше одного рішення на проміжку Т. Відзначимо, що як проміжок T можуть бути нескінченний проміжок (-?;+?) , проміжки (а;+?), (-?; а), [а;+?), (-?; b], відрізки, інтервали й напівінтервали.
Приклад 2.1.1 Вирішите рівняння
. [28](1)
Рішення. Очевидно, що х ? 0 не може бути рішенням даного рівняння, тому що тоді . Для х > 0 функція безперервна й строго зростає, як добуток двох безперервних позитивних строго зростаючих для цих х функцій f(x) = х і . Виходить, в області х > 0 функція приймає кожне своє значення рівно в одній крапці. Легко бачити, що х = 1 є рішенням даного рівняння, отже, це його єдине рішення.
Відповідь: {1}.
Приклад 2.1.2 Вирішите нерівність
.(2)
Рішення. Кожна з функцій в = 2x, в = 3x, в = 4х безперервна й строго зростаюча на всій осі. Виходить, такий же є й вихідна функція . Легко бачити, що при х = 0 функція приймає значення 3. У силу безперервності й строгої монотонності цієї функції при х > 0 маємо , при х < 0 маємо . Отже, рішеннями даної нерівності є всі х < 0.
Відповідь: (-?; 0).
Приклад 2.1.3 Вирішите рівняння
.(3)
Рішення. Область припустимих значень рівняння (3) є проміжок . На ОПЗ функції й безперервні й строго убувають, отже, безперервна й убуває функція . Тому кожне своє значення функція h(x) приймає тільки в одній крапці. Тому що , те х = 2 є єдиним коренем вихідного рівняння.
Відповідь: {2}.
2.2 Використання обмеженості функції
При рішенні рівнянь і нерівностей властивість обмеженості знизу або зверху функції на деякій множині часто відіграє визначальну роль.
Якщо існує число C таке, що для кожного виконується нерівність f(x)?C, те функція f називається обмеженої зверху на множині D (малюнок 2).
Малюнок 2
Якщо існує число c таке, що для кожного виконується нерівність f(x)?c, те функція f називається обмеженої знизу на множині D (малюнок 3).
Малюнок 3
Функція, обмежена й зверху, і знизу, називається обмеженої на множині D. Геометрично обмеженість функції f на множині D означає, що графік функції y=f(x), лежить у смузі c?y?C (малюнок 4).
Малюнок 4
Якщо функція не є обмеженою на множині, то говорять, що вона не обмежена.
Прикладом функції, обмеженої знизу на всій числовій осі, є функція y=x2. Прикладом функції, обмеженої зверху на множині (?;0) є функція y=1/x. Прикладом функції, обмеженої на всій числовій осі, є функція y=sinx.
Приклад 2.2.1 Вирішите рівняння
sin(x3 + 2х2 + 1) = х2 + 2х + 2.(4)
Рішення. Для будь-якого дійсного числа х маємо sin(x3 + 2х2 + 1) ? 1, х2 + 2х + 2 = (x + 1)2 + 1 ? 1. Оскільки для будь-якого значення х ліва частина рівняння не перевершує одиниці, а права частина завжди не менше одиниці, то дане рівняння може мати рішення тільки при .
При , , тобто при рівняння (4) так само корінь не має .
Відповідь: O.
Приклад 2.2.2 Вирішите рівняння
.(5)
Рішення. Очевидно, що х = 0, х = 1, х = -1 є рішеннями даного рівняння. Для знаходження інших рішень у силу непарності функції f(х) = = x3 - x - sin ?x досить знайти його рішення в області х > 0, х ? 1, оскільки якщо x0 > 0 є його рішенням, те й (-x0) також є його рішенням.
Розібємо множину х > 0, х ? 1, на два проміжки: (0; 1) і (1; +?)
Перепишемо початкове рівняння у вигляді x3 - x = sin ?x. На проміжку (0; 1) функція g(х) = x3 - x приймає тільки негативні значення, оскільки х3 < < х, а функція h(x) = sin ?x тільки позитивні. Отже, на цьому проміжку рівняння не має рішень.
Нехай х належить проміжку (1; +?). Для кожного з таких значень х функція g(х) = х3 - х приймає позитивні значення, функція h(x) = sin ?x приймає значення різних знаків, причому на проміжку (1; 2] функція h(x) = sin ?x непозитивна. Отже, на проміжку (1; 2] рівняння рішень не має.
Якщо ж х > 2, то |sin ?x| ? 1, x3 - x = x(x2 - 1) > 2• 3 = 6, а це означає, що й на проміжку (1; +?) рівняння також не має рішень.
Отже, x = 0, x = 1 і x = -1 і тільки вони є рішеннями вихідного рівняння.
Відповідь: {-1; 0; 1}.
Приклад 2.2.3 Вирішите нерівність
. (6)
Рішення. ОПЗ нерівності є всі дійсні x, крім x = -1. Розібємо ОПЗ нерівності на три множини: -? < x < -1, -1 < x ? 0, 0 < x < +? і розглянемо нерівність на кожному із цих проміжків.
Нехай -? 0. Отже, всі ці x є рішеннями нерівності.
Нехай -1 < x ? 0. Для кожного із цих x маємо g(x) = 1 - , а f(x) = 2x ? 1. Отже, жодне із цих x не є рішенням даної нерівності.
Нехай 0 < x < +?. Для кожного із цих x маємо g(x) = 1 - , a . Отже, всі ці x є рішеннями вихідної нерівності.
Відповідь: .
2.3 Використання періодичності функції
Функція f(x) називається періодичної з періодомT?0, якщо виконуються дві умови:
якщо , то x+T і xT також належать області визначення D(f(x));
для кожного виконана рівність
f(x+T)=f(x).
Оскільки те з наведеного визначення треба, що
Якщо T період функції f(x), то очевидно, що кожне число nT, де , n?0, також є періодом цієї функції.
Найменшим позитивним періодом функції називається найменше з позитивних чисел T, що є періодом даної функції.
Графік періодичної функції
Графік періодичної функції звичайно будують на проміжку [x0;x0+T), а потім повторюють на всю область визначення.
Гарним прикладом періодичних функцій можуть служити тригонометричні функції y=sinx, y=cosx (пері