Дослідження нестандартних методів рішення рівнянь і нерівностей.
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
Скільки було чоловіків, жінок і дітей?
Позначивши кількість чоловіків за х, кількість жінок за у, ми прийдемо до рівняння
Зх + 2y+ ( х-y)= 100
Загального рішення лінійних дофантових рівнянь у ті часи ще не знали й задовольнялися лише декількома рішеннями, що задовольняють умові задачі. У самого Алькуина було наведено лише одне рішення цієї задачі: чоловіків, жінок і дітей було 11, 15 і 74, а задача має 784 рішення в натуральних числах.
Задачі, що приводять до лінійних дофантових рівнянням, були в Леонардо Пизанського (Фибоначчи) (1180 - 1240), в Арифметиці Л. Ф. Магницького.
Відоме рівняння Піфагора (VI в. до н.е.) х2 + в2= z2 вирішують у натуральних числах. Його рішеннями служать трійки чисел (х; в; z):
x = (m2-n2)l, y = 2mnl, z = (m2 + n2)l,
де т, п, l - будь-які натуральні числа (т> п). Ці формули допомагають знаходити прямокутні трикутники, довжини сторін яких є натуральними числами.
В 1630 р. французький математик Пьер Ферма (1601 1665) сформулював гіпотезу, що називають великою (або великий) теоремою Ферма: Рівняння хп + уп = zn для натурального п ? 3 не має рішень у натуральних числах. Ферма не довів свою теорему в загальному випадку, але відома його запис на полях Арифметики Диофанта: ...неможливо куб записати у вигляді суми двох кубів, або парний ступінь у вигляді суми таких же ступенів, або взагалі будь-яке число, що є ступенем більшої, ніж друга, не можна записати у вигляді суми двох таких же ступенів. У мене є воістину дивний доказ цього твердження, але поля ці занадто вузькі, щоб його вмістити. Пізніше в паперах Ферма було знайдене доказ його теореми для п= 4. З тих пор більше 300 років математики намагалися довести велику теорему Ферма. В 1770 р. Л.Ейлер довів теорему Ферма для п = 3, в 1825 р. Адриен Лежандр (1752 1833) і Петер Дирихле (1805 - 1859) - для п = 5. Доказ великої теореми Ферма в загальному випадку не вдавався довгі роки. І тільки в 1995 р. Ендрю Вайлс довів цю теорему.
2. РІШЕННЯ ЗАДАЧ ІЗ ВИКОРИСТАННЯМ ВЛАСТИВОСТЕЙ ФУНКЦІЇ
Не всяке рівняння f(x) = g(x) або нерівність у результаті перетворень або за допомогою вдалої заміни змінної може бути зведене до рівняння або нерівності того або іншого стандартного виду, для якого існує певний алгоритм рішення. У таких випадках іноді виявляється корисним використовувати деякі властивості функцій, такі як монотонність, періодичність, обмеженість, парність і ін.
2.1 Використання монотонності функції
Функція f(x) називається зростаючої на проміжку D, якщо для будь-яких чисел x1 і x2 із проміжку D таких, що x1<x2, виконується нерівність f(x1)<f(x2).
Функція f(x) називається убутної на проміжку D, якщо для будь-яких чисел x1 і x2 із проміжку D таких, що x1f(x2).
На показаному на малюнку 1 графіку
Малюнок 1
Функція y=f(x), , зростає на кожному із проміжків [a;x1) і (x2;b] і убуває на проміжку (x1;x2). Зверніть увагу, що функція зростає на кожному із проміжків [a;x1) і (x2;b], але не на обєднанні проміжків
Якщо функція зростає або убуває на деякому проміжку, то вона називається монотонної на цьому проміжку.
Помітимо, що якщо f монотонна функція на проміжку D(f(x)), те рівняння f(x)=const не може мати більше одного кореня на цьому проміжку.
Дійсно, якщо x1 < x2 корінь цього рівняння на проміжку D(f(x)), те f(x1)=f(x2)=0, що суперечить умові монотонності.
Перелічимо властивості монотонних функцій (передбачається, що всі функції визначені на деякому проміжку D).
Сума декількох зростаючих функцій є зростаючою функцією.
Добуток ненегативних зростаючих функцій є зростаюча функція.
Якщо функція f зростає, то функції cf(c>0) і f+c також зростають, а функція cf(c<0) убуває. Тут c - деяка константа.
Якщо функція f зростає й зберігає знак, то функція убуває.
Якщо функція f зростає й ненегативна, то fnде n N, також зростає.
Якщо функція f зростає й n непарне число, то fn також зростає.
Композиція g(f(x)) зростаючих функцій f і g також зростає.
Аналогічні твердження можна сформулювати й для убутної функції.
Крапка a називається крапкою максимуму функції f, якщо існує така ?-околиця крапки a, що для будь-якого x із цієї околиці виконується нерівність f(a)?f(x).
Крапка a називається крапкою мінімуму функції f, якщо існує така ?-околиця крапки a, що для будь-якого x із цієї околиці виконується нерівність f(a)?f(x).
Крапки, у яких досягається максимум або мінімум функції, називаються крапками екстремуму.
У крапці екстремуму відбувається зміна характеру монотонності функції. Так, ліворуч від крапки екстремуму функція може зростати, а праворуч - убувати. Відповідно до визначення, крапка екстремуму повинна бути внутрішньою крапкою області визначення.
Якщо для кожного (x?a) виконується нерівність f(x)?f(a),те крапка a називається крапкою найбільшого значення функції на множині D:
Якщо для кожного (x?b) виконується нерівність f(x)>f(b),те крапка b називається крапкою найменшого значення функції на множині D.
Крапка найбільшого або найменшого значення функції на множині D може бути екстремумом функції, але не обовязково їм є.
Крапку найбільшого (найменшого) значення безперервної на відрізку функції варто шукати серед екстремумів цієї функції і її значень на кінцях відрізка.
Рішення рівнянь і нерівностей з використанням властивості монотонності ґрунтується на наступних твердженнях.
1. Нехай f(х) - безперервна й строго монотонна функція на проміжку Т , тоді рівняння f(x) = З, де З - дана констант