Дослідження нестандартних методів рішення рівнянь і нерівностей.
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
од цих функцій дорівнює 2?), y=tgx (період дорівнює ?) і інші. Функція y=const також є періодичною. Для неї періодом є будь-яке число T?0.
На закінчення відзначимо властивості періодичних функцій. [19]
Якщо f(x) періодична функція з періодом T, то функція
g(x)=Af(kx+b)
де k?0 також є періодичною з періодом .
Нехай функції f1(x) і f2(x) визначені на всій числовій осі і є періодичними з періодами T1>0 і T2>0. Тоді якщо те функція періодична з періодом T, рівним найменшому загальному кратному чисел T1 і T2.
Приклад 2.4.1 Функція періодична з періодом T = 5. Відомо, що . Знайдіть
Рішення. Перетворимо окремо кожний доданок:
Тоді
Відповідь: 2.
Приклад 2.4.2 [24] Знайдіть період функції
Рішення. Перетворимо дане вираження:
має період ;
має період .
Тоді функція має період
Відповідь: ?.
Приклад 2.4.3 Нехай - періодична функція з періодом 3 така, що
; .
Вирішите рівняння:
(7)
Графік функції на множині [0;3) зображений на малюнку 3:
Малюнок 5
Таким чином 3 - період функції , те, тоді рівняння (7) прикмет вид , розглянемо два випадки.
1) нехай , тобто , тоді рівняння прийме вид:
, значить і виходить,
2) нехай те, тоді рівняння прийме вид:
; отже ,
таким чином , .
Відповідь: .
2.4 Використання парності функції
Функція f(x) називається парної, якщо для кожного виконуються рівності:
1) ,
2) f(x)=f(x).
Графік парної функції на всій області визначення симетричний щодо осі OY. Прикладами парних функцій можуть служити y=cosx, y=|x|, y=x2+|x|
Графік парної функції
Функція f(x) називається непарної, якщо для кожного виконуються рівності:
1) ,
2) f(x)=f(x).
Іншими словами функція називається непарної, якщо її графік на всій області визначення симетричні відносно початку координат. Прикладами непарних функцій є y=sinx, y=x3.
Графік непарної функції
Не слід думати, що будь-яка функція є або парної, або непарної. Так, функція не є ні парної, ні непарної, тому що її область визначення несиметрична відносно початку координат. Область визначення функції y=x3+1 охоплює всю числову вісь і тому симетрично відносно початку координат, однак f(1)?f(1). А це значить, що функція не є ні парної, ні непарної, тобто є функцією загального виду (ФЗВ).
Якщо область визначення функції симетрична відносно початки координат, то цю функцію можна представити у вигляді суми парної й непарної функцій.
Такою сумою є функція
Перший доданок є парною функцією, друге - непарної.
Порівняльна ілюстрація функцій різної парності зображена на малюнку 6
Малюнок 6
Дослідження функцій на парність полегшується наступними твердженнями.
Сума парних (непарних) функцій є парною (непарної) функцією.
Добуток двох парних або двох непарних функцій є парною функцією.
Добуток парної й непарної функції є непарною функцією.
Якщо функція f парна (непарна), то й функція 1/f парна (непарна).
Приклад 2.4.1 чи Може при якому-небудь значенні а рівняння
2x8 3аx6 + 4x4 аx2 = 5
мати 5 корінь?
Рішення. Позначимо f(x) = 2х8 3ах6 + 4х4 ах2. f(x) функція парна, тому, якщо x0 корінь даного рівняння, те -x0 теж. x = 0 не є коренем даного рівняння (0 ? 5). Отже, число корінь у цього рівняння при будь-якому дійсному а парне, тому 5 корінь воно мати не може.
Відповідь: не може.
2.5 Використання ОПЗ функції
Область визначення функції - це множина всіх припустимих дійсних значень аргументу x (змінної x), при яких функція визначена. Область визначення іноді ще називають областю припустимих значень функції (ОПЗ). Для знаходження ОПЗ функції потрібно проаналізувати дану відповідність і встановити заборонні операції, що зустрічаються (ділення на нуль, піднесення в раціональний ступінь негативного числа, логарифмічні операції над негативними числами й т.п.).
Іноді знання ОПЗ дозволяє довести, що рівняння (або нерівність) не має рішень, а іноді дозволяє знайти рішення рівняння (або нерівності) безпосередньою підстановкою чисел з ОПЗ.
Приклад 2.5.1 Вирішите рівняння
. (8)
Рішення. ОПЗ цього рівняння складається із всіх х, одночасно задовольняючим умовам і , тобто ОПЗ є порожня множина. Цим рішення рівняння й завершується, тому що встановлено, що жодне число не може бути рішенням, тобто що рівняння не має корінь.
Відповідь: O.
Приклад 2.5.2 Вирішите рівняння
. (9)
Рішення. ОПЗ цього рівняння складається із всіх x, одночасно задовольняючим умовам , , , тобто ОПЗ є . Підставляючи ці значення х у рівняння (9), одержуємо, що його ліва й права частини рівно 0, а це означає, що всі , є його рішеннями.
Відповідь:
Приклад 2.5.3 Вирішите нерівність
.(10)
Рішення. ОПЗ нерівності (10) є всі х, що задовольняють умові . Ясно, що х = 1 не є рішенням нерівності (10). Для х із проміжку маємо , а . Отже, всі х із проміжку є рішеннями нерівності (10).
Відповідь: .
Приклад 2.5.4 [26] Вирішите нерівність
.(11)
Рішення. ОПЗ нерівності (11) є всі х із проміжку . Розібємо цю множину на два проміжки й .
Для х із проміжку маємо , . Отже, на цьому проміжку, і тому нерівність (11) не має рішень на цьому проміжку.
Нехай х належить пр