Дослідження нестандартних методів рішення рівнянь і нерівностей.
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?я в початок XVI в. Тоді професор математики болонського університету Сципион дель Ферро (1465-1526) уперше знайшов алгебраїчне рішення рівняння третього ступеня виду
x3+px=q,(1)
де р и q - числа позитивні.
Це відкриття, по звичаях того часу, професор тримав у строгому секреті. Про нього знали лише два його учні, у тому числі якийсь Фиоре. Утаювання математичних відкриттів тоді було звичайним явищем, тому що в Італії практикувалися математичні диспути-двобої. На багатолюдних зборах супротивники пропонували один одному задачі для рішення на місці або в певний строк. Найчастіше це були задачі по алгебрі, що називали тоді великим мистецтвом. Перемагав той, хто вирішував більше задач. Переможець не тільки нагороджувався славою й призначеним грошовим призом, але й міг зайняти університетську кафедру, а потерпілий поразку часто втрачав займане місце. От чому учасникові диспуту було важливо мати невідомий інший алгоритм рішення деяких задач.
Після смерті професора дель Ферро його учень Фиоре, що сам не був глибоким математиком, викликав на публічний диспут одного з найвизначніших математиків того часу Никколо Тарталья (1499-1557). Готуючись до диспуту, Тарталья відкрив формулу для знаходження корінь кубічних рівнянь у радикалах, тому що припускав, що Фиоре вже мав цю формулу. Пізніше Тарталья писав: Я приклав всю свою запопадливість, ретельність і уменье, щоб знайти правило для рішення кубічних рівнянь, і, завдяки благословенній долі, мені вдалося це зробити за 8 днів до строку.
Диспут відбувся 20 лютого 1535 р. Тарталья протягом двох годин вирішив 30 задач, запропонованих йому супротивником, а Фиоре не зміг вирішити ні однієї з 30 задач, запропонованих Тартальєй. Після диспуту Тарталья став знаменитим у всій Італії, але продовжував тримати відкриту формулу в секреті.
Інший італійський математик Джерол (1501 - 1576) довідався від Тартальи правило рішення кубічного рівняння (1) і дав священну клятву, що нікому не розкриє цієї таємниці. Правда, Тарталья лише частково розкрив свою таємницю, але Кардано, познайомившись із рукописами покійного професора дель Ферро, одержав повну ясність у цьому питанні. В 1545 р. Кардано опублікував знамениту свою працю Про велике мистецтво, або про алгебраїчні речі, в одній книзі, де вперше опублікував формулу для рішення рівняння (1), а кубічне рівняння загального виду пропонував звести до рівняння (1).
Після виходу у світло цієї книги Кардано був обвинувачений Тартальей у порушенні клятви, але формула, відкрита дель Ферро й Тартальей, і донині називається формулою Кардано.
Така повна драматизму історія відкриття формули корінь кубічного рівняння (1).
У тій же книзі Кардано привів алгебраїчне рішення рівняння четвертого ступеня. Це відкриття зробив один з його учнів Лудовико Феррари (1522 - 1565). Після цього почалися наполегливі пошуки формул, які зводили б рішення рівнянь вищих ступенів до добування корінь (рішення в радикалах). Ці пошуки тривали біля трьох сторіч, і лише на початку XIX в. норвезький учений Нильс Хенрик Абель (1802 -1829) і французький учений Еварист Галуа (1811 -1832) довели, що рівняння ступенів вище четвертої в загальному випадку в радикалах не вирішуються.
Математик і філософ Рене Декарт (1596 -1650) уперше сформулював у своїй книзі Геометрія основну теорему алгебри про число корінь рівняння n-й ступеня. При цьому Декарт припускав існування не тільки щирих (позитивних) і помилкових (менших, чим нічого, тобто менших нуля - негативних) корінь, але й уявлюваних, мнимих (у Декарта - imaginaires), тобто комплексних корінь.
Ще в стародавності математики в процесі рішення задач зіштовхувалися з добуванням кореня квадратного з негативного числа; у цьому випадку задача вважалася нерозвязною. Однак поступово зясовувалося, що рішення багатьох задач, що задаються в дійсних числах, одержує просте пояснення за допомогою виражень a + bi, де i2 = -1, які зрештою теж стали називати числами, але вже комплексними. Перше обґрунтування найпростіших дій над комплексними числами дав італійський математик Раффаеле Бомбелли (1530 -1572) в 1572 р., хоча ще довгий час до комплексних чисел ставилися як до чого надприродному.
Академік Петербурзької академії наук Леонард Ейлер (1707 -1783) вніс істотний вклад у питання теорії комплексних чисел. Після його робіт комплексні числа одержали остаточне визнання як предмет і засіб вивчення. Сама назва комплексне число було запропоновано в 1831 р. німецьким математиком Карлом Фрідріхом Гауссом (1777 - 1855).
У цей час комплексні числа широко вживаються в багатьох питаннях фізики й техніки.
Вище мова йшла про алгебраїчні рівняння, тобто рівняннях f(x) = O, де f(x) - багаточлен відносно х.
Крім алгебраїчних рівнянь, є ще й трансцендентні рівняння: показові, логарифмічні, тригонометричні й ін. Рішення трансцендентних рівнянь, а також нерівностей істотно опирається на властивості функцій, які вивчаються в математику відносно недавно.
Особливе місце серед алгебраїчних рівнянь займають так звані диофантові рівняння, тобто рівняння, у яких невідомих більше однієї.
Найбільш відомими з них є лінійні дофантові рівняння. Приклади задач, що приводять до лінійних дофантових рівнянь, знаходимо в збірнику задач ченця Алькуїна, запрошеного в 795 р. Карлом Великим викладати в першу з відомих шкіл у м. Аахен. От ця задача:
100 шеффелей (грошових одиниць) розділили між чоловіками, жінками й дітьми (число персон 100) і дали при цьому чоловікам по 3 шеффеля, жінкам по 2 і дітям по шеффеля.