Дослідження двовимірної квадратичної стаціонарної системи із двома приватними інтегралами у вигляді кривих другого порядку
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
Дипломна робота
Дослідження двовимірної квадратичної стаціонарної системи із двома приватними інтегралами у вигляді кривих другого порядку
Зміст
Введення
1. Побудова квадратичних двовимірних стаціонарних систем
1.1 Побудова квадратичної двовимірної стаціонарної системи із приватним інтегралом у вигляді параболи
1.2 Побудова квадратичної двовимірної стаціонарної системи із приватним інтегралом у вигляді окружності або гіперболи
1.3 Необхідні й достатні умови існування в системи (1.1) двох часток інтегралів (1.3), (1.13)
2. Якісне дослідження побудованих класів систем
2.1 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.28) - (1.31)
2.2 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.41) - (1.42)
2.3 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.52) - (1.53)
Висновок
Список джерел
Додатки
Реферат
Дипломна робота ____ сторінок, 11 джерел.
Ключові слова й словосполучення: квадратична двовимірна стаціонарна система, приватний інтеграл, парабола, гіпербола, окружність, крапка, характеристичне рівняння, характеристичне число, вузол, сідло, фокус.
Дана робота містить результати досліджень автора, що ставляться до якісного дослідження в цілому двовимірної квадратичної стаціонарної системи.
Основним інструментом досліджень є поняття приватного інтеграла.
Робота складається із двох глав.
У першому розділі проводиться побудова квадратичних двовимірних стаціонарних систем із заданими інтегралами, при цьому коефіцієнти інтегралів виражаються через коефіцієнти системи, а коефіцієнти системи звязані між собою трьома співвідношеннями.
У другому розділі проводиться якісне дослідження в цілому виділених у першому розділі класів систем при фіксованих значеннях деяких параметрів.
Введення
Відомо, що в елементарних функціях і навіть у квадратурах інтегруються далеко не всі класи диференціальних рівнянь. У звязку із цим зявилася необхідність у створенні такої теорії, за допомогою якої можна було б вивчати властивості рішень диференціальних рівнянь по виду самих рівнянь. Такою теорією, поряд з аналітичної, і є якісна теорія диференціальних рівнянь.
Уперше задача якісного дослідження для найпростішого випадку системи двох диференціальних рівнянь із повною виразністю була поставлена А. Пуанкаре [7]. Пізніше дослідження А. Пуанкаре були доповнені И. Бендиксоном [3, с. 191-211] і уточнені Дж.Д. Биркгофом [4, с.175-179].
(0.1)
Однієї із задач якісної теорії диференціальних рівнянь є вивчення поводження траєкторій динамічної системи (0.1) на фазовій площині в цілому у випадку, коли P (x,y) і Q (x,y) - аналітичні функції. Інтерес до вивчення цієї системи або відповідного їй рівняння пояснюється їх безпосереднім практичним застосуванням у різних областях фізики й техніки.
(0.2)
Є багато робіт, у яких динамічні системи вивчалися в припущенні, що їхніми частками інтегралами є алгебраїчні криві. Поштовхом до більшості з них послужила робота Н.П. Еругина [6, с.659 - 670], у якій він дав спосіб побудови систем диференціальних рівнянь, що мають як свій приватний інтеграл криву заданого виду.
Знання одного приватного алгебраїчного інтеграла системи (0.1) у багатьох випадках допомагає побудувати повну якісну картину поводження інтегральних кривих у цілому. Відзначимо ряд робіт цього характеру для систем (0.1), у яких P (x,y) і Q (x,y) - поліноми другого ступеня.
Н.Н. Баутиним [1, с.181 - 196] і Н.Н. Серебряковою [8, с.160 - 166] повністю досліджений характер поводження траєкторій системи (0.1), що має два алгебраїчних інтеграли у вигляді прямих. В [10, с.732 - 735] Л.А. Черкасом таке дослідження проведене для рівняння (0.2) при наявності приватного інтеграла у вигляді кривої третього порядку. Яблонський А.И. [11, с.1752 - 1760] і Филипцов В.Ф. [9, с.469-476] вивчали квадратичні системи із припущенням, що приватним інтегралом були алгебраїчні криві четвертого порядку.
У даній роботі розглядається система
(0.3)
і проводиться якісне дослідження в цілому системи (0.3) за умови, що приватним інтегралом є крива четвертого порядку, що розпадається на дві криві другого порядку, одна й з яких парабола, друга окружність або гіпербола.
Робота складається із двох глав.
У першому розділі проводиться побудова квадратичних двовимірних стаціонарних систем із заданими інтегралами, при цьому коефіцієнти інтегралів виражаються через коефіцієнти системи, а коефіцієнти системи звязані між собою трьома співвідношеннями.
У другому розділі проводиться якісне дослідження в цілому виділених у першому розділі класів систем при фіксованих значеннях деяких параметрів.
1. Побудова квадратичних двовимірних стаціонарних систем
1.1 Побудова квадратичної двовимірної стаціонарної системи із приватним інтегралом у вигляді параболи
Розглянемо систему диференціальних рівнянь
(1.1)
Нехай система (1.1) має приватний інтеграл виду:
, (1.2)
де Fk (x,y) - однорідні поліноми від x і y ступеня k.
Як приватний інтеграл (1.2) візьмемо параболу виду:
F (x,y) (y+ (1 x2 + (2 x+ (3 = 0 (1.3)
Будемо припускати, що (3 (0, тобто парабола не проходить через початок координат.
Згідно [10, с.1752-1760] для інт?/p>