Дослідження двовимірної квадратичної стаціонарної системи із двома приватними інтегралами у вигляді кривих другого порядку
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
(2.22)
Складемо характеристичне рівняння в крапці N2 (0,-2)
Характеристичними числами для крапки N2 (0,-2), будуть , - складний стан рівноваги. Для визначення характеру стану рівноваги скористаємося теоремою [2, с. 196-198]. Теорема 2.1 Нехай крапка (0,0) - ізольований стан рівноваги системи:
(2.23)
де , є поліноми від x,y починаючи із другого ступеня, - рішення рівняння , а розкладання функції має вигляд:
Тоді
1) при m - непарному й m0 крапка (0,0) - є топологічний вузол;
при m - непарному й m0 крапка (0,0) - є топологічне сідло;
при m - парному крапка (0,0) є сідло - вузол, тобто такий стан рівноваги, канонічна околиця якого складається з двох гіперболічних секторів. При цьому:
якщо m0, то усередині гіперболічних секторів укладений відрізок позитивної півосі OX, що примикає до крапки (0,0);
якщо m0, то відрізок негативної півосі OX.
Щоб скористатися теоремою, необхідно систему (2.22) привести до виду:
Це можна зробити, скориставшись одним з наступних перетворень [2, с. 199-201]:
якщо ,
якщо , ,
якщо , ,
де a, b, c, d - коефіцієнти системи (2.23).
Тоді для системи (2.22) візьмемо наступне перетворення:
Одержимо
Тоді
(2.24)
Знайдемо рішення рівняння:
у вигляді ряду по ступенях Z1:
,
Отже
Тоді
Підставляючи U1 у систему (2.24) одержимо:
Звідси
, 0.
Отже, по теоремі 2.1 одержуємо, що крапка N2 (0,-2) - сідло - вузол.
Досліджуємо кінці осі y за допомогою перетворення [7] . Це перетворення переводить систему (2.15) у систему:
(2.25)
де .
Для дослідження станів рівноваги на кінцях осі y, нам необхідно досліджувати тільки крапку N3 (0,0). Складемо характеристичне рівняння в крапці N3 (0,0)
Відповідно характеристичними числами будуть
Коріння - дійсні й одного знака. Отже, крапка N3 (0,0) - стійкий вузол.
Тепер дамо розподіл станів рівноваги системи (2.1) у вигляді таблиці 3.
Таблиця 3.
d
?N1N2N3 (-?; 0) вуст. фокуссідлоневуст. вузолсідлосідло-вузолвуст. вузол (0; +?) невуст. фокуссідловуст. вузолсідлосідло-вузолвуст. вузол
Положення кривих (2.16), (2.17) і розташування щодо їхніх станів рівноваги при d (0 і d (0 дається відповідно мал.3 (а, б).
Поводження траєкторій системи в цілому при d (0 і d (0 дається мал.6 (а, б) додатка В: Поводження траєкторій системи (2.15).
Питання існування граничних циклів залишається відкритим.
а (d (0)
б (d (0)
Мал.3
Висновок
У даній дипломній роботі побудована квадратична двовимірна стаціонарна система за умови, що приватним інтегралом є крива четвертого порядку, що розпадається на дві криві другого порядку, одна й з яких парабола, друга окружність або гіпербола. При цьому коефіцієнти кривих виражаються через довільний параметр системи.
Список джерел
1. Баутин Н.Н. Про число граничних циклів, що зявляються при зміні коефіцієнтів зі стану рівноваги типу фокуса або центра. - К., 1998
2. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методи й прийоми якісного дослідження динамічних систем на площині. - К., 2004
3. Бендиксон І. Про криві, обумовлених диференціальними рівняннями. - К., 2006
4. Биркгоф Дж.Д. Динамічні системи. - К., 2003
5. Воробйов А.П. До питання про цикли навколо особою крапки типу “вузол". - К., 2002
6. Еругин Н.П. Побудова всього множини систем диференціальних рівнянь, що мають задану інтегральну криву. - К., 2003
7. Пуанкаре А. Про криві, обумовлених диференціальними рівняннями. - К., 2004
8. Серебрякова Н.Н. Якісне дослідження однієї системи диференціальних рівнянь теорії коливань. - К., 2005
9. Филипцов В.Ф. До питання алгебраїчних інтегралів однієї системи диференціальних рівнянь. - К., 2003
10. Черкас Л.А. Про алгебраїчні рішення рівняння , де P і Q - багаточлени другого ступеня. - К., 2000
11. Яблонський А.І. Алгебраїчні інтеграли однієї системи диференціальних рівнянь. - К., 2000
Додатки
Додаток А
Поводження траєкторій системи (2.1)
а) (d<0)
б) (d>0)
Мал.4
Додаток Б
Поводження траєкторій системи (2.8)
а) (d<0)
б) (d>0)
Мал.5
Додаток В
Поводження траєкторій системи (2.15)
а) (d<0)
б) (d>0)
Мал.6