Дослідження двовимірної квадратичної стаціонарної системи із двома приватними інтегралами у вигляді кривих другого порядку
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
ослідження в припущенні, що , , .
Нехай ми маємо систему (1.1), коефіцієнти якої визначаються відповідно до формул (1.28) - (1.31), тоді система (1.1) запишеться у вигляді:
(2.1)
Інтегральні криві в цьому випадку мають вигляд:
(2.2)
(2.3)
Знайдемо стани рівноваги системи (2.1). Дорівнявши праві частини системи нулю й виключивши змінну y, одержимо наступне рівняння для визначення абсцис станів рівноваги:
(2.4)
З (2.4) одержуємо, що
, , , .
Ординати крапок спокою мають вигляд:
, , , .
Отже, маємо крапки
, , , .
Досліджуємо поводження траєкторій на околицях станів рівноваги , , , .
Досліджуємо крапку .
Складемо характеристичне рівняння в крапці .
Звідси
, (2.5)
,
Отже, характеристичне рівняння прийме вид:
= =0.
,
Або
.
Характеристичними числами для крапки системи (2.1) будуть
.
Коріння - дійсні, різних знаків не залежно від параметра d. Отже, крапка - сідло.
Досліджуємо крапку
.
Складемо характеристичне рівняння в крапці
.
Згідно
рівностям (2.5) характеристичне рівняння прийме вид:
,
Або
.
Характеристичними числами для крапки системи (2.1) будуть
,
тобто
, .
Коріння - дійсні й одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d (0, то крапка - нестійкий вузол, якщо d (0, то крапка - стійкий вузол. Досліджуємо крапку .
Застосовуючи рівності (2.5), складемо характеристичне рівняння в крапці
:
Характеристичними числами для крапки
системи (2.1) будуть , тобто , . Коріння - дійсні й одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d0, то крапка - стійкий вузол, якщо d0, то крапка - нестійкий вузол.
Досліджуємо крапку
.
Складемо характеристичне рівняння в крапці
.
Застосовуючи рівності (2.5), одержимо:
,
Або
Характеристичними числами для крапки
системи (2.1) будуть
,
тобто
, .
Коріння - дійсні й різні знаки не залежно від параметра d. Виходить, крапка - сідло.
Досліджуємо нескінченно - вилучену частину площини наприкінці осі oy. Перетворення
[7]
переводить систему (2.1) у систему:
(2.6)
де .
Для дослідження станів рівноваги на кінцях осі y, нам необхідно досліджувати тільки крапку . Складемо характеристичне рівняння в крапці.
Одержимо, що
Коріння - дійсні й одного знака. Отже, крапка - стійкий вузол.
Досліджуємо нескінченно - вилучену частину площини поза кінцями осі oy перетворенням [7] Це перетворення систему (2.1) переводить у систему:
(2.7)
де .
Вивчимо нескінченно - вилучені крапки на осі U, тобто при z=0. Маємо:
Одержуємо, що . Отже, станів рівноваги поза кінцями осі oy немає.
Тепер дамо розподіл станів рівноваги системи (2.1) у вигляді таблиці 1.
Таблиця 1.
d?x=0 (-?; 0) сідлоневуст. вузолвуст. вузолсідловуст. вузол (0; +?) сідловуст. вузолневуст. вузолсідловуст. вузол
Положення кривих (2.2), (2.3) і розташування щодо їхніх станів рівноваги при d (0 і d (0 дається відповідно мал.1 (а, б).
Поводження траєкторій системи в цілому при d (0 і d (0 дається мал.4 (а, б) додатка А: Поводження траєкторій системи (2.1).
Досліджуючи вид кривих (2), (2.3) і розташування щодо їхніх станів рівноваги, переконуємося, що система (2.1) не має граничних циклів, тому що Воробйов А.П. [5] довів, що для систем, праві частини яких є поліноми другого ступеня, граничний цикл може оточувати тільки крапку типу фокуса. З огляду на розташування станів рівноваги відносно кривих (1.3) і (1.13), що є інтегралами системи (2.1), характер стану, містимо, що для системи (2.1) не може існувати граничних циклів, що оточують кілька станів рівноваги.
а (d (0)
б (d (0)
Мал.1
2.2 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.41) - (1.42)
Будемо проводити наше дослідження в припущенні, що
Нехай ми маємо систему (1.1), коефіцієнти якої визначаються формулами (1.41) - (1.42). Тоді система (1.1) буде мати вигляд:
(2.8)
Інтегральні криві в цьому випадку мають вигляд:
(2.9)
(2.10)
Приватний інтеграл (1.13) у цьому випадку перетворюється у дві прямі (2.10)
1. Знайдемо стани рівноваги системи (2.8). Для цього дорівняємо праві частини системи нулю
Розглянемо два випадки:
Одержуємо:
З першого рівняння знайдемо y:
і підставляючи y у друге рівняння одержимо:
Вирішуючи це рівняння, знаходимо:
.
Отже, одержуємо
,
,
Отже, одержуємо крапки
, , ,
і пряму x=0, що є траєкторією системи (2.8).
2. Досліджуємо поводження траєкторій на околицях станів рівноваги
Досліджуємо крапку .
Складемо характеристичне рівняння в крапці .
Звідси
(2.11)
Отже, характеристичне рівняння прийме вид:
Характеристичними числами для крапки системи (2.8) будуть , . Коріння - дійсні й різні знаки не залежно від пар