Дослідження двовимірної квадратичної стаціонарної системи із двома приватними інтегралами у вигляді кривих другого порядку
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
µграла (1.3) системи (1.1) має місце співвідношення:
, (1.4)
де L (x,y) = px+my+n, p, m, n - постійні.
Тоді випливаючи формулі (1.4) одержимо рівність:
(2 (1x+ (2) (ax+by+a1x2+2b1xy+c1y2) + (cx+dy+a2x2+2b2xy+c2y2) = (y+ (1x2+ (2x+ (3) (px+my+n).
Дорівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях xm yn ліворуч і праворуч, одержимо рівності:
(2a1-p) (1= 0 (1.51), (4b1-m) (1= 0 (1.52), 2 (1c1= 0 (1.53)
(2a-n) (1+ (a1-p) (2+a2= 0 (1.61)
2 (1b+ (2b1-m) (2+2b2+p= 0 (1.62)
(2c1+c2-m= 0 (1.63), (a-n) (2-p (3n+c= 0 (1.71)
(2b- (3m+d-n= 0 (1.72), (3n= 0 (1.73)
Нехай (1 (0, тоді з рівностей (1.51), (1.52), (1.53), (1.63) і (1.73) одержуємо, що
P=2a1, m=4b1, c1=0, c2=4b1, n=0 (1.8)
Зі співвідношень (1.61), (1.62) і (1.71) знайдемо вираження коефіцієнтів кривій (1.3) через коефіцієнти системи (1.1) у наступному виді:
1, (1.9)
2, (1.10)
3. (1.11)
Рівність (1.72) з урахуванням отриманих виражень (1.9) - (1.11), дасть умову, що звязує коефіцієнти a, b, c, d, a1, a2, b1, b2:
(1.12)
Отже, установлена наступна теорема:
Теорема 1.1 Система (1.1) має приватний інтеграл (1.3), коефіцієнти якого виражаються формулами (1.9) - (1.11), за умови, що коефіцієнти системи звязані співвідношенням (1.12) і c1= 0, c2= 4b1, a1 (0, 2b1a-a1b (0.
1.2 Побудова квадратичної двовимірної стаціонарної системи із приватним інтегралом у вигляді окружності або гіперболи
Нехай тепер система (1.1) поряд з інтегралом (1.3) має інтеграл у вигляді:
y2+ (x2+ (x+ (y+ (=0 (1.13)
Будемо розглядати тепер систему:
(1.14)
Відповідно до формули (1.4), де L
(x,y) = m1x+n1y+p1,m1, n1, p1 - постійні для системи (1.1), маємо:
(2a1-m1) (2= 0 (1.151)
(4b1-n1) (+2a1= 0 (1.152)
m1= 4b2 (1.153)
n1=8b1 (1.154)
(2a-p1) (+ (a1-m1) (+a2 (=0 (1.161)
2b (+ (2b1-n1) (+ (2b2-m1) (+2c= 0 (1.162)
(4b1-n1) (+2d-p1= 0 (1.163)
(a-p1) (+c (+m1 (= 0 (1.171)
b (+ (d-p1) (-n1 (= 0 (1.172)
p1 (= 0 (1.173)
Припустимо, що крива не проходить через початок координат, тобто ( (0.Нехай ( (0, тоді з рівностей (1.151), (1.153), (1.154) і (1.173) одержуємо, що
m1=4b2, n1=8b1, a1=2b2, p1=0 (1.18)
А зі співвідношень (1.161), (1.163) і (1.171) знайдемо вираження коефіцієнтів кривій (1.13) через коефіцієнти системи (1.1) у наступному виді:
(1.19), (1.20)
(1.21), (1.22)
Підставляючи коефіцієнти (, (, (і (у рівності (1.162) і (1.172), одержимо дві умови, що звязують коефіцієнти a, b, c, d, a2, b1, b2:
(1.23)
(1.24)
Отже, установлена наступна теорема:
Теорема 1.2 Система (1.14) має приватний інтеграл (1.13), коефіцієнти якого виражаються формулами (1.19) - (1.22), за умови, що коефіцієнти системи звязані співвідношеннями (1.23), (1.24) і b1 (0, b2 (0, a1=2b2.
1.3 Необхідні й достатні умови існування в системи (1.1) двох часток інтегралів (1.3), (1.13)
У розділах 1.1-1.2 ми одержали, що система (1.1) буде мати дві частки інтеграла у вигляді кривих другого порядку за умови, що коефіцієнти системи звязані співвідношеннями:
(1.25)
Причому b1 (0, b2 (0, a1 (0, b1a-b2b (0.
Виражаючи c з першого рівняння системи (1.25), одержимо
(1.26)
Підставимо (1.26) у друге й третє рівняння системи (1.25).
Одержимо два співвідношення, що звязують параметри a, b, d, a2, b1, b2:
.
Нехай і
(1.27)
З першого рівняння системи (1.27) одержимо
Підставляючи в друге рівняння системи (1.27), знайдемо
.
Зі співвідношень (1.25) при умовах (1.27) одержуємо, що коефіцієнти системи (1.1) визначаються наступними формулами:
(1.28)
(1.29)
(1.30)
, , , , (1.31)
Рівності (1.9) - (1.11), (1.19) - (1.22) за умови, що мають місце формули (1.28) - (1.31), дадуть наступні вираження для коефіцієнтів інтегралів (1.3) і (1.13):
1 (1.32)
2 (1.33)
3 (1.34)
(1.35)
(1.36)
(1.37)
(1.38)
Теорема 1.3 Система (1.1) має приватні інтеграли виду (1.3) і (1.13) з коефіцієнтами, певними формулами (1.32) - (1.38), за умови, що коефіцієнти системи (1.1) виражаються через параметри по формулах (1.28) - (1.31).
Нехай
(1.39)
З першого рівняння системи (1.39) знайдемо
, .
Підставляючи в друге рівняння системи (1.39), одержимо рівність:
(1.40)
Оскільки , те розглянемо два випадки: , тоді .
Зі співвідношень (1.25) при умовах (1.39) і (1.40) одержуємо, що коефіцієнти системи (1.1) визначаються наступними формулами:
, , (1.41)
, , , , (1.42)
Рівності (1.9) - (1.11), (1.19) - (1.22) за умови, що мають місце формули (1.41) - (1.42), дадуть наступні вираження для коефіцієнтів інтегралів (1.3) і (1.13):
1 (1.43),2 (1.44)
3 (1.45), (1.46)
(=0 (1.47)
(1.48),
(1.49)
Теорема 1.4 Система (1.1) має приватні інтеграли виду (1.3) і (1.13) з коефіцієнтами, певними формулами (1.43) - (1.49), за умови, що коефіцієнти системи (1.1) виражаються через параметри по формулах (1.41) - (1.42).
б) (1.50), (1.51)
З (1.50) знайдемо :
Зі співвідношень (1.25) при умовах (1.39) і (1.50) - (1.51) одержуємо, що коефіцієнти системи (1.1) визначаються наступними формулами:
, - будь-яке число, (1.52)
, , , , (1.53)
Рівності (1.9) - (1.11) і (1.19) - (1.22) за умови, що мають місце формули (1.52) - (1.53), дадуть наступні вираження для коефіцієнтів інтегралів (1.3) і (1.13):
(1=0 (1.54), 2 (1.55)
(1.56)
(1.57)
(1.58)
(1.59)
(1.60)
Теорема 1.5 Система (1.1) має приватні інтеграли виду (1.3) і (1.13) з коефіцієнтами, певними формулами (1.54) - (1.60), за умови, що коефіцієнти системи (1.1) виражаються через параметри по формулах (1.52) - (1.53).
2. Якісне дослідження побудованих класів систем
2.1 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.28) - (1.31)
Будемо проводити наше д