Дослідження двовимірної квадратичної стаціонарної системи із двома приватними інтегралами у вигляді кривих другого порядку
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
аметра d, значить крапка - сідло. Досліджуємо крапку . Згідно (2.11) складемо характеристичне рівняння в крапці :
Характеристичними числами для крапки системи (2.8) будуть , .
Коріння - дійсні й одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d0, то крапка - нестійкий вузол, а якщо d0, то крапка - стійкий вузол.
3. Досліджуємо поводження траєкторій в околиці крапки .
Складемо характеристичне рівняння згідно (2.11)
.
Характеристичними числами для крапки системи (2.8) будуть
,
Коріння - дійсні й одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d0, то крапка - стійкий вузол, якщо d0, то крапка - нестійкий вузол.
4. Досліджуємо поводження траєкторій в околиці крапки .
Згідно (2.11) складемо характеристичне рівняння:
Характеристичними числами для крапки системи (2.8) будуть , . Коріння - дійсні й різні знаки не залежно від параметра d, отже - сідло. Досліджуємо нескінченно - вилучену частину площини системи (2.8) поза кінцями осі oy. Перетворення [7] переводить систему (2.8) у систему:
(2.12)
де .
Вивчимо нескінченно - вилучені крапки на осі U, тобто при z=0. Одержуємо:
Отже .
Таким чином, одержуємо дві крапки N1 (0,-1) і N2 (0,1), які є станом рівноваги. Досліджуємо характер цих крапок звичайним способом.
Складемо характеристичне рівняння в крапці N1 (0,-1).
(2.13), . Маємо:
, .
Коріння - дійсні й різні за знаком, отже крапка N1 (0,-1) - сідло.
Досліджуємо крапку N2 (0,1). Згідно (2.13) складемо характеристичне рівняння:
, .
Коріння - дійсні й одного знака, значить крапка N2 (0,1) - стійкий вузол.
Досліджуємо кінці осі y за допомогою перетворення [7] . Це перетворення переводить систему (2.8) у систему:
(2.14)
де .
Для дослідження станів рівноваги на кінцях осі y, нам необхідно досліджувати тільки крапку N3 (0,0). Складемо характеристичне рівняння в крапці N3 (0,0):
,
Коріння - дійсні й одного знака, значить крапка N3 (0,0) - нестійкий вузол.
Тепер дамо розподіл станів рівноваги системи (2.1) у вигляді таблиці 2.
Таблиця 2.
d?N1N2N3 (-?; 0) сідлоневуст. вузолвуст. вузол сідлосідловуст. вузолневуст. вузол (0; +?) сідловуст. вузолневуст. вузолсідлосідловуст. вузолневуст. вузол
Положення кривих (2.9), (2.10) і розташування щодо їхніх станів рівноваги при d (0 і d (0 дається відповідно мал.2 (а, б).
Поводження траєкторій системи в цілому при d (0 і d (0 дається мал.5 (а, б) додатка Б: Поводження траєкторій системи (2.8).
Питання про існування граничних циклів не виникає, тому що Воробйов А.П. [5] довів, для квадратичної системи граничний цикл не може оточувати вузол.
а (d0) б (d0)
Мал.2
2.3 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.52) - (1.53)
Будемо проводити наше дослідження в припущенні, що , . Нехай ми маємо систему (1.1), коефіцієнти якої визначаються формулами (1.52) - (1.53). Тоді система (1.1) буде мати вигляд:
(2.15)
Інтегральні криві в цьому випадку мають вигляд:
(2.16)
(2.17)
Тобто приватні інтеграли (1.3) і (1.13) перетворюються в прямі таким чином, що інтегральна крива (2.16) збігається з однієї із прямих інтегральній кривій (2.17).
Знайдемо стани рівноваги системи (2.15). Дорівнявши праві частини системи нулю, і виключивши змінну y, одержимо наступне рівняння для визначення абсцис станів рівноваги:
(2.18)
З (2.18) одержуємо, що
, , .
Ординати крапок спокою мають вигляд:
, , .
Отже, маємо крапки
, , .
Досліджуємо поводження траєкторій на околицях станів рівноваги .
Досліджуємо стан рівноваги в крапці .
Складемо характеристичне рівняння.
Звідси
(2.19)
Отже, характеристичне рівняння прийме вид
Маємо
,
Або
.
Характеристичними числами для крапки для системи (2.15) будуть
.
Коріння - комплексні й залежать від параметра d. Виходить, якщо d0, то крапка - стійкий фокус, якщо d0, то крапка - нестійкий фокус. Досліджуємо крапку
.
Згідно (2.19) складемо характеристичне рівняння в крапці
.
Маємо
.
Характеристичними числами для крапки системи (2.15) будуть , . Коріння - дійсні й різні знаки не залежно від параметра d. Отже, крапка - сідло.
3. Досліджуємо крапку .
По (2.19) складемо характеристичне рівняння в крапці .
Одержимо
.
Вирішуючи рівняння, одержимо
,
тобто
,
Коріння - дійсні й одного знака, що залежать від параметра d. Якщо do, то крапка - нестійкий вузол, якщо d0, то крапка - стійкий вузол. Досліджуємо нескінченно - вилучену частину площини поза кінцями осі oy перетворенням [7] Це перетворення систему (2.15) переводить у систему:
(2.20)
де .
Вивчимо нескінченно - вилучені крапки на осі u, тобто при z=0. Одержуємо
Отже
Отже, маємо дві крапки N1 (0,2) і N2 (0,-2).
Досліджуємо характер цих крапок звичайним способом. Складемо характеристичне рівняння в крапці N1 (0,2).
(2.21)
.
Отже
, ,
Скористаємося паралельним переносом
і підставимо z, u у систему (2.20). Одержимо нову систему: