Декартовы координаты
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
Введение
координата декартовый плоскость геометрия
Аналитическая геометрия изучает свойства геометрических объектов при помощи аналитического метода, в основе которого лежит так называемый метод координат, впервые систематически примененный Декартом (французский математик и философ, 1596-1650).
Метод координат представляет собой глубокий и мощный аппарат, позволяющий привлекать для исследования геометрических объектов методы алгебры и математического анализа. Основные понятия геометрии (точки, прямые линии, плоскости) относятся к числу начальных понятий. Вводятся декартовы координаты точки на прямой, на плоскости и в пространстве. Из школьного курса геометрии эти понятия известны, как известны и некоторые сведения о векторах. Обобщим и дополним эти сведения. Векторная величина характеризуется не только своим численным значением, но и направлением. Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, скорость и ускорение этой точки действующая на эту точку сила. В отличие от векторных величин рассматриваются скалярные величины, каждая из которых характеризуется только численным значением (площадь, объем, длина). Свойства векторов и операции над ними позволяют получить уравнения прямой, плоскости и изучить их взаимное положение.
Целью настоящей работы является исследование кривых второго порядка. Задачи работы:
) изучение декартовых координат на прямой, на плоскости, в пространстве;
) характеристика основных понятий векторов и действий над ними;
) решение простейших задач методом координат;
) выявление геометрического смысла линейных неравенств с двумя переменными;
) анализ видов кривых второго порядка.
Декартовы координаты на прямой, на плоскости и в пространстве
Прямую линию с указанным на ней направлением, началом отчета и единицей масштаба назовем числовой осью. Каждому действительному числу Х на числовой оси соответствует единственное число, которое называется координатой данной точки.
Здесь числа х2>х1>0, х3<0.
х3, х1, х2, х - координаты точек Q, F, N, M соответственно. Записывают:
Q (х3), F (x1), N(x2), M (x).
Точки F и N ограничивают отрезок FN. Очевидно, его длина | FN | = х2- х1. Две взаимно перпендикулярные оси на плоскости с общим началом и одинаковой единицей масштаба образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости. Одна из осей - ось абсцисс Ох, другая - ось ординат Оу.
Рис.
Каждой точке плоскости соответствует единственная пара чисел х, у.
x, у называют координатами точки М и записывают М (х, у).
Рис.
В пространстве декартова прямоугольная система координат представляет собой совокупность трех взаимно перпендикулярных осей с общим началом и одинаковой единицей масштаба. Это ось абсцисс Ох, ось ординат Оу и ось аппликат Оz. Каждая точка пространства М имеет координаты х, у, z. Записывают:
М (х, у, z).
Вектор. Основные понятия. Действия над векторами
Вектором называется направленный отрезок
Будем обозначать вектор либо символом , где точки А и В - начало и конец направленного отрезка, либо символом (малая латинская буква с чертой).
Для обозначения длины вектора будем использовать символ модуля:
|| - длина вектора ,
|| - длина вектора .
Вектор называется нулевым (или нуль-вектором), если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления, длина его равна числу 0. Записывают: || = 0.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если векторы и коллинеарны, то записывают: ||.
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Записывают: =.
Понятно, что вектор можно переносить параллельно самому себе в любую точку пространства, т.е. изучаемые в геометрии векторы являются свободными.
Векторы называются компланарными, если они лежат в одной или в параллельных плоскостях.
Рис.
Рассмотрим векторы, совпадающие с ребрами куба.
Векторы и коллинеарны, но не равны.
Векторы , , , , компланарны, так как лежат в параллельных гранях.
Векторы , , равны: ==.
В квадрате MNKZ векторы , , ,, имеют одинаковые длины, но не равны. Если изменим направление у двух векторов, то можно утверждать, что = и =.
Рассмотрим векторы, совпадающие со сторонами ромба ABCD.
Рис.
Здесь =, но , , хотя длины векторов, совпадающих со сторонами ромба, равны:
|| = || = || = ||.
Линейными операциями над векторами называют сложение векторов и умножение вектора на число.
Суммой + двух векторов и называется вектор , идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора . Записывают:
=+.
Рис. 1.Рис. 2.
Это правило называется "правилом треугольника" (рис. 1). Для сложения двух векторов можно использовать "правило параллелограмма" (рис. 2): если векторы и приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то суммой и этих векторов является вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, идущей из общего начала векторов и .
Сумму трех, четырех и большего числа векторов можно построить по "правилу многоугольника": начало каждого последующего вектора совмещают с концом предыдущего, а суммой всех векторов явл?/p>