Декартовы координаты
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
?ется вектор, идущий из начала первого вектора в конец последнего.
Рис. 3
На рис. 3 построена сумма четырех векторов +++.
Три вектора в пространстве можно складывать по "правилу параллелепипеда": если на трех векторах , ,, как на ребрах, построить параллелепипед, то его диагональ, выходящая из общего начала данных векторов, и будет их суммой (рис. 4):
=++.
Рис. 4
Произведением вектора на число называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину, равную ||||, одинаково с вектором направленный в случае >0 и противоположно с ним направленный в случае <0. Записывают:
=.
Когда =0, для любого вектора произведение равно нуль-вектору:
=.
Когда =1, 1=.
Когда = -1, (-1)=- - вектор, противоположный вектору .
Итак, при умножении вектора на число получаем вектор, коллинеарный данному. Поэтому, если известно, что =, где - число, имеем два коллинеарных вектора и. Иначе говоря, равенство = является условием коллинеарности векторов и.
Для примера рассмотрим векторы, совпадающие со сторонами треугольника АВС: =, =.
Рис.
Требуется выразить через векторы и вектор , где О - точка пересечения медиан треугольника.
Известно, что точка О пересечения медиан треугольника делит отрезок медианы в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому =2/3, где точка D - середина стороны СВ.
Но вектор =1/2=1/2; =-1/2.
В треугольнике САD вектор =+= -1/2+.
Искомый вектор =-2/3(-1/2+)= 1/3-2/3.
Итак, =1/3-2/3. Заметим, что разность векторов и можно рассматривать как сумму вектора и вектора, противоположного вектору :
-=+(-1) =+(-).
В нашем примере из треугольника САD можно получить вектор =-=1/2-.
Если вектор умножить на число 1/||, получим так называемый единичный вектор вектора (или орт вектора ), который обозначается 0. Итак, орт вектора или единичный вектор вектора
0=1/||=/||; |0|=1.
Принято единичные векторы на координатных осях Ох, Оу, Оz обозначать , , соответственно.
Линейные операции над векторами обладают теми же свойствами, что и линейные операции над матрицами. Укажем некоторые из них:
) +=+ - перестановочный закон сложения;
) +(+)=(+)+ - сочетательный закон сложения;
) () = () - сочетательный закон умножения на число;
) (+)=+;
) (+)=+ - распределительные законы.
Рассмотрим координаты вектора, для чего перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом координат. Пусть конец вектора - точка М.
Координатами вектора назовем координаты его конечной точки.
Рис. 5
Рис. 6
Так как координатами точки на плоскости являются два числа х и у, то на плоскости вектор задается двумя координатами.
Записывают: =(х, у) (рис. 5).
В пространстве вектор задается тремя координатами х, у и z.
Записывают: =(х, у, z) (рис. 6).
Нетрудно показать, что при сложении векторов складываются их соответствующие координаты, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
Если даны координаты векторов и =(х1, у1, z1), =(х2, у2, z2) и
=+; =-; =,
то координаты векторов , , легко находятся:
=(х1+х2; у1+у2; z1+z2),
=(x1-x2; y1-y2; z1-z2),
=(х1; у1; z1).
На рис. 5 и рис. 6 видно, что длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:
||=||=.
В плоском случае достаточно считать третью координату z равной нулю.
Если вектор ограничен двумя точками, координаты которых заданы: т. А (х1, у1, z1), т. В (х2, у2, z2), то легко найти координаты самого вектора .
Рис. 7
На рис. 7 видно, что вектор можно получить как разность векторов и , где т. О - начало координат:
=-,
=(х1, у1, z1), =(х2, у2, z2).
Тогда координаты вектора равны разности соответствующих координат конца и начала вектора:
=(х2-х1; у2-у1; z2-z1).
Расстояние между точками А и В вычислим как длину вектора :
|АВ|=||=.
Углом между векторами и назовем наименьший угол, на который надо повернуть один вектор до совпадения его с другим.
Рис.
Записывают ()=.
Покажем угол между вектором и координатной осью Ох, например. Обозначим этот угол через . Пусть =.
Рис.
Очевидно, что cos==.
Обозначим через , , углы между вектором и координатными осями Ох, Оу, Оz соответственно. Тогда
cos=, cos=, cos=.
Эти формулы определяют направляющие косинусы вектора и полностью задают направление вектора в пространстве. Направляющие косинусы вектора удовлетворяют условию:
cos2+cos2+cos2=1.
Это равенство легко получить, учитывая, что длина вектора
=.
В школьном курсе рассматривается еще одна операция над векторами - скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначают скалярное произведение векторов и символами
или (,).
Таким образом, по определению
=cos,
где - угол между векторами и .
Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
. =
.
. (+)=+
. Если векторы и взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю (и наоборот), т. е. ^=0.
Условие =0 ?/p>