Декартовы координаты
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
метим, что коэффициенты при х2 и у2 в уравнении окружности одинаковы. Если же в уравнении коэффициенты при х2 и у2 будут разными по величине, но одного знака, то такое уравнение будет определять эллипс.
Простейшее (каноническое) уравнение эллипса имеет вид:
(8)
Чтобы построить такой эллипс, отметим точки пересечения эллипса с осями координат: А1(a, 0), А2(-а, 0), В1(0, b), В2(0, -b), называемые вершинами эллипса. Расстояние между вершинами |А1А2|=2а и |В1В2|=2b называют осями, а числа а и b - полуосями эллипса (а>0, b>0). Из уравнения (8) эллипса видно, что эллипс - фигура, симметричная относительно обеих осей и начала координат. Для точного построения эллипса используем определение:
Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Фокусы F1(c, 0) и F2(-c, 0) построим, учитывая,
что (при а>b).
По определению сумма остается постоянной для любой точки М(х, у) эллипса.
Рис.
Если центр симметрии эллипса расположен в точке С(х0, у0) и оси симметрии параллельны координатным осям, то уравнение эллипса:
(9)
Рис.
В школьном курсе гипербола рассматривается как график обратной пропорциональной зависимости .
Рассмотрим более общий случай гиперболы, начав с ее определения:
Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний каждой из которых от двух данных точек есть величина постоянная. Простейшее (каноническое) уравнение гиперболы имеет вид:
(10)
Как видно, коэффициенты при х2 и у2 имеют разные знаки.
Числа а и b (а>0 и b>0) называются полуосями гиперболы.
Точки А1(а,0), А2(-а,0), В1(0,b) и В2(0,-b) называют вершинами гиперболы.
Построим прямоугольник со сторонами, проходящими через вершины А1, А2, В1, В2 параллельно координатным осям. Диагонали этого прямоугольника называют асимптотами гиперболы. Очевидно, уравнения асимптот
и
Через вершины А1(а, 0) и А2(-а, 0) проведем теперь две симметричные относительно координатных осей ветви гиперболы так, чтобы по мере удаления от центра симметрии - точки О(0,0) - они приближались бы к асимптотам, но не пересекали бы их.
Рис.
Если же центр симметрии гиперболы расположен в точке С(х0, у0) и оси симметрии параллельны координатным осям, то уравнение гиперболы имеет вид:
,
Укажем, что гипербола является и графиком дробно-линейной функции .
Параболу в школьном курсе рассматривают как график квадратного трехчлена у=ах2+bх+с.
Выделяя из квадратного трехчлена полный квадрат, это уравнение легко привести к виду
(х-х0)2=2р(у-у0) (11)
Здесь точка С(х0, у0) - вершина параболы, ось симметрии параллельна Оу. Коэффициент р(р>0) называют параметром параболы. Знак плюс перед коэффициентом 2р соответствует параболе, ветви которой направлены вверх, знак минус - вниз.
Рис.
Можно рассмотреть параболу с осью симметрией, параллельной оси Ох. Ее уравнение имеет вид
(у-у0)2 = 2р (х-х0). (12)
Рис.
Отметим, что уравнение параболы содержит квадрат только одной переменной: либо х (формула 11), либо у (формула 12).
Дадим определение, которое часто фигурирует как определение параболы. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной прямой и от данной точки.
Заключение
В основу метода координат положены две идеи:
-введение переменной величины.
Переменная - величина, которая принимает различные значения. Чаще всего обозначается буквами латинского алфавита: х, у, z и т.д.
Аргумент функции - независимая переменная. Это произвольный элемент из области определения. Обозначается обычно буквой х латинского алфавита. Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у. При этом используют запись у = f (х);
-использование прямолинейных (декартовых) координат.
Возьмем две взаимно перпендикулярные координатные прямые Ох и Оу с равными единичными отрезками. Точка пересечения координатных прямых О называется началом координат, координатная прямая Ох - осью абсцисс, а Оу - осью ординат. Т.о., мы задали систему координат. Плоскость, на которой задана система координат, называется координатной плоскостью.
Возьмем точку А координатной плоскости и проведем через нее прямые l1 и l2, параллельные координатным осям. Абсциссой точки А называется число, которое соответствует точке пересечения прямой l1 и оси абсцисс. Ординатой точки А называется число, которое соответствует точке пересечения прямой l2 и оси ординат. Упорядоченная пара (х; у) называется координатами точки А в прямоугольной декартовой системе координат.
В заключение обзора кривых второго порядка отметим, что эти линии часто встречаются в различных вопросах естествознания. Например, движение материальной точки под воздействием центрального поля силы тяжести происходит по одной из этих линий. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы широко используется в инженерном деле. В частности, оптические свойства параболы используется при конструировании прожекторов, антенн, телескопов. Такие термины, как эллиптическая орбита, эллипсоид инерции, параболическая траектория, параболическое зеркало и т.д., убеждают в широком применении кривых второго по?/p>