Декартовы координаты
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
µ на окружности радиуса r с центром в начале координат. Если же точка не лежит на окружности, то расстояние r.
Итак, уравнению х2+у2=r2 удовлетворяют координаты любой точки окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности. Значит, уравнение х2+у2=r2 определяет окружность при любом r>0.
Очевидно, уравнение (х-х0)2+(у-у0)2=r2 определяет окружность с центром в точке С(х0, у0) радиуса r>0.
Например, уравнение х2+(у+1)2=1 определяет окружность радиуса r=1 с центром в точке С(0; -1).
Простейшей линией является прямая на плоскости. Рассмотрим различные виды уравнения прямой.
1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку М0(х0,у0) перпендикулярно данному вектору = (А; В).
Рис.
Чтобы вывести уравнение прямой, возьмем на ней любую точку М(х, у), которая может по прямой перемещаться.
В любом случае вектор , ограниченный данной точкой М0(х0,у0) и произвольной точкой М(х, у), всегда лежит на прямой и поэтому перпендикулярен данному вектору (А; В). Найдем координаты вектора и запишем условие перпендикулярности векторов и .
^А (х - х0) + В (у - у0) = 0.
Полученному уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой и не могут удовлетворять координаты точки, не лежащей на прямой (тогда условие перпендикулярности не будет выполняться).
А (х - хо) + В (у - у0) = 0 (1)
- уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Вектор (А; В) называют нормальным вектором.
В уравнении (1) раскроем скобки:
А х + В у + (-А х0 - В уо) = 0
Обозначим число - А х0 - В у0 = С. Уравнение прямой примет вид:
А х + В у + С = 0 (2)
Его называют общим уравнением прямой, а коэффициенты при х и у задают нормальный вектор .
Заметим, что уравнение прямой - уравнение первой степени с двумя переменными. Поэтому в аналитической геометрии прямую линию называют линией первого порядка.
. Уравнение прямой, проходящей через данную точку М0(х0, у0) параллельно данному вектору =(m; n).
Рис.
Пусть М(х, у) - любая точка прямой. Тогда векторы и всегда коллинеарны. Запишем условие коллинеарности векторов ; у-у0) и =(m; n):
(3)
уравнение прямой, параллельной вектору =(m; n).
3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М1(х1, у1) и М2(х2, у2)
Рис.
Для любой точки М(х, у) прямой векторы =(х - х1; у - у1) и = (х2 - х1; у2 -у1) всегда коллинеарны, а потому
(4)
искомое уравнение.
. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Выведем уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0, у0) под углом к оси абсцисс Ох.
Угол между прямой и осью Ох называют углом наклона прямой, а угловым коэффициентом k прямой называют тангенс угла наклона этой прямой, т. е. k =tg.
Рис.
Для любой точки М(х, у) прямой отношение равно , поэтому или у-у0=k(х-х0).
Получили уравнение прямой, проходящей через данную точку М0(х0, у0) в заданном направлении
у-у0 = k (х-х0) (5)
Здесь - угловой коэффициент прямой. Угол наклона
Если точка М0 - точка пересечения прямой с осью ординат Оу, то ее координаты х0= 0, у0= b. Уравнение принимает вид: у-b=kx, или
у = k x + b (6)
уравнение прямой с угловым коэффициентом, b - начальная ордината прямой.
Рис.
. Угол между прямыми
Пусть даны две прямые своими общими уравнениями:
А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0
Так как = (А1; В1) и - нормальные векторы данных прямых, то угол между прямыми равен углу между нормальными векторами и .
Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом: и , то угол между ними удобнее вычислять по формуле:
доказательство которой легко усматривается из рисунка:
Рис.
Если прямые перпендикулярны, то 1 + k1 k2 = 0 и .
Если прямые параллельны, то
k1 = k2.
Пример № 5
Проверить, что четыре точки А(-2;-2), В(-3;1), С(7;7) и D(3;1) служат вершинами трапеции, и составить уравнение высоты, опущенной из вершины А.
В трапеции две стороны параллельны, а две - нет. Составим уравнения каждой из четырех сторон по формуле (4).
Уравнение АВ:
или у+2=-3(х+2).
Уравнение ВС: ,
или у-1=.
Уравнение CD:
или у-7=.
Уравнение DА: ,
или у-1=.
Сравним угловые коэффициенты полученных прямых; они равны для прямых ВС и DA: .
ВС и DA - основания трапеции, АВ и СD - боковые стороны ее.
Высота трапеции перпендикулярна основанию, и угловой коэффициент прямой, совпадающей с высотой, равен . Составим уравнение прямой, проходящей через точку А(-2,-2) с угловым коэффициентом k= по формуле (5):
у+2= или 5х+3у+16=0.
Построением убедимся в правильности решения.
Рис.
Обзор кривых второго порядка
Прямая на плоскости является линией первого порядка, так как определяется уравнением первой степени с двумя переменными. Рассмотрим кривые второго порядка, то есть линии, определяемые в декартовых координатах уравнениями второй степени. Установлено, что таких линий всего четыре: окружность, эллипс, гипербола и парабола.
В п. 4 было получено уравнение окружности с центром С(х0, у0) и радиусом r:
(х-х0)2 + (у-у0)2 = r2 (7)
Из этого уравнения можно получить так называемое общее уравнение окружности: x2+y2+mx+ny+p=0. За