Декартовы координаты
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
?оэтому и называют условием перпендикулярности векторов.
. =. Отсюда получают правило для вычисления длины вектора:
=
Если известны координаты векторов и , то легко показать, что скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат векторов, т. е. если =(х1, у1, z1) и =(х2, у2, z2), то
=х1х2+у1у2+z1z2
Условие перпендикулярности тогда примет вид:
^x1x2+y1y2+z1z2=0
Пусть, например, даны векторы = (2, -1, 2), = (1, 0, 4), = (3, 4, -1).
Найдем скалярные произведения
= 2 1 + (-1) 0 + 2 4 = 10,
=2 3 + (-1) 4 + 2 (-1) = 0,
= 1 3 + 0 4 + 4 (-1) = -1.
Мы обнаружили, что векторы и образуют прямой угол.
Используя определение скалярного произведения, можно вычислить угол между векторами по формуле
.
Простейшие задачи метода координат
При решении чисто геометрических задач используются формулы и правила, позволяющие вычислить длину отрезка или вектора, расстояние между точками, угол между векторами или осями, найти точку, делящую данный отрезок.
Рассмотрим эти задачи.
. Расстояние между точками
А (х1, у1, z1) и В(х2, y2, z2):
=.
Эта же формула позволяет вычислить длину вектора.
. Деление отрезка в данном отношении
Пусть в пространстве даны две точки М1 и М2. Говорят, что точка М делит отрезок М1М2. в отношении , если
Точка М делит отрезок М1М2 в отношении .
Точка N делит тот же отрезок М1М2 в отношении .
Видимо, при мы получим середину отрезка.
Если известны координаты начала М1 и конца М2 отрезка, то координаты точки М, делящей отрезок М1М2 в отношении , находят по формулам:
, ,
где т. М1(х1, у1, z1), т. М2(х2, у2, z2), т. М(х, у, z).
Координаты середины отрезка получают при :
Например, если т. А(-2, 3, 4), т. В(0, 1, -2), то координаты середины отрезка АВ получим из формул:
z=
Итак, точка С(-1, 2, 1) является серединой отрезка АВ.
. Угол между векторами вычисляется по формуле
cos .
. Условие перпендикулярности двух векторов: х1х2+у1у2+z1z2=0.
. Условие коллинеарности двух векторов:
Если векторы коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны.
Пример № 1.
Даны три вершины параллелограмма: А(4;2), В(5;7), С(-3;4). Найти четвертую вершину D, противолежащую вершине В.
Рис.
Для решения этой задачи воспользуемся свойством диагоналей параллелограмма: диагонали его, пересекаясь, делятся точкой пересечения пополам.
Пусть точка М - точка пересечения диагоналей параллелограмма АВСD.
Тогда точка М - середина отрезка АС; координаты точки М найдем из формул:
Итак, т. М(.
Но точка М является серединой и отрезка ВD. Поэтому верны равенства:
и .
; .
Из этих равенств находим координаты вершины D(-4, -1).
Проверить правильность решения можно, построив все вершины параллелограмма.
Рис.
Рис.
Пример № 2.
Найти центр тяжести треугольника, зная координаты его вершин: А(1;4), В(-5;0), С(-2;-1). Центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения медиан, которая делит отрезок любой медианы в отношении 2:1, считая от вершины.
Точка М делит отрезок СD в отношении =2, а точка D - середина стороны АВ. ;
Середина стороны АВ - точка D(-2;2). Координаты точки М найдем, рассматривая отрезок СD.
Итак, центр тяжести треугольника лежит в точке М(-2,1).
Построим все точки и убедимся, что решение верно.
Рис.
Пример № 3.
Проверить, что четырехугольник, вершины которого находятся в точках А(5; 2; 6;), В(6; 4; 4), С(4; 3; 2) и D (3; 1; 4), есть квадрат.
Квадратом является четырехугольник, у которого стороны взаимно перпендикулярны и длины сторон равны.
Запишем координаты векторов, совпадающих со сторонами:
=(6-5; 4-2; 4-6)=(1; 2; -2)
=(4-6; 3-4; 2-4)=(-2; -1; -2)
=(3-4; 1-3; 4-2)=(-1; -2; 2)
=(5-3; 2-1; 6-4)=(2; 1; 2)
Проверим, выполняется ли условие перпендикулярности для каждой пары смежных сторон-векторов.
=1(-2)+2(-1)+(-2)(-2)=-2-2+4=0, что и доказывает, что ^.
=(-2)(-1)+(-1)(-2)+(-2)2=2+2-4=0, т. е. ^.
=(-1)2+(-2)1+22=0, т. е. ^.
=21+12+2(-2)=0, т. е. ^.
Мы установили, что стороны четырехугольника взаимно перпендикулярны. Покажем, что и длины сторон его равны.
,
Итак, АВСD - квадрат. Заметим, что построением эту задачу не проверить, так как точки заданы не на плоскости, а в пространстве.
Уравнение линии. Прямая на плоскости
Одним из важнейших в аналитической геометрии является вопрос об уравнении линии на плоскости.
Всякая линия есть множество точек плоскости, координаты которых должны быть связаны некоторым условием. Это условие записывается в виде уравнения.
Определение. Уравнение F(х, у)=0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии.
В этом случае говорят: уравнение F(х, у)=0 определяет эту линию.
Пример № 4.
Показать, что уравнение х2+у2=r2 определяет окружность.
Окружностью называется множество точек плоскости, расстояние каждой из которых до данной точки постоянно. Пусть М(х, у) - любая точка плоскости. Расстояние этой точки от начала координат
Тогда уравнению х2+у2=r2 удовлетворяют только те точки, для которых r, т. е. точки, лежащи?/p>