Фракталы как степень организованности инвестиционных процессов
Контрольная работа - Экономика
Другие контрольные работы по предмету Экономика
? размерность меньше 1,4, то процесс развивается в одном направлении под действием одной "организующей силы" (наблюдающиеся при этом тенденции с высокой вероятностью будут продолжаться в будущем).
. При фрактальной размерности 1,4-1,6 процесс развивается по действием нескольких "организующих сил", действующих в противоположных направлениях, из-за чего характер процесса становится стохастическим и может быть описан классическими статистическими методами (организация процесса отсутствует).
. При фрактальной размерности свыше 1,6 процесс развивается под действием одной или нескольких "организующих сил", действующих в одном направлении, переходит в неустойчивое состояние, которое может смениться новым порядком организации (высока вероятность появления тенденции, отличной от той, что наблюдается в текущем периоде).
. Отдельно следует рассматривать процесс, для которого фрактальная размерность существенно меньше 1, поскольку в этом случае высока вероятность резкого изменения направления развития.
Следует учитывать, что показатель Херста и исчисленная на его основе фрактальная размерность представляют собой интегральные характеристики процесса, который отражает исследуемый ряд. Исчисляемые свойства этого способа определения фрактальной размерности таковы, что позволяют оценить только общие свойства временного ряда, оставляя за рамками анализа его локальную структуру. В то же время тенденции реальных динамических процессов могут несколько раз менять характер своего поведения внутри масштаба, необходимого для надежного исчисления фрактальной размерности. Изучение локальной структуры таких рядов является более важной задачей, чем изучение их общих свойств. Кроме того, в течение исследуемого интервала может меняться характер организации инвестиционных процессов. Показатель Херста и общая фрактальная размерность не позволяют отслеживать такие изменения. В этом случае необходимо делить весь массив на несколько частей, где на каждой его части поведение ряда имеет свои осо-бенности. Показатель Херста рассчитывается тремя способами: Stabilogram Diffusion Analysis - SDA, Detrended Fluctuation Analysis - DFA, Rescaled Range Analysis - R/S. Для инвестиционных процессов наиболее апробирована методика R/S -анализа, которая и была использована нами в данном исследовании.
В рамках R/S -анализа существуют два способа расчета показателя Херста. Первым является быстрый алгоритм, предполагающий выполнение таких расчетных этапов:
. Определяются Mt - средние значения ?Rt для временных интервалов t = 0, 1,2,...,(n-2):
Mt = (1)
2. Рассчитываются накопленные отклонения для каждого интервала t:
Xt = (2)
. Определяются максимальное и минимальное отклонения max, (Хi… Xt) и mint (Хi… Xt) за (n - 1) периодов и размах накопленных отклонений при разных t:
Rt = maxt (Хi… Xt) - mint (Хi… Xt) (3)
. Для каждого интервала находится среднеквадратическое отклонение:
St = (4)
. Размах накопленных отклонений нормализуется на S (получается ряд значений R/S для каждого интервала t).
6. R/S и t логарифмируются, на основе чего строится график зависимости
log (R/S) от log(t).
. Методом наименьших квадратов находятся линейная аппроксимация, а затем и фрактальная размерность. Угловой коэффициент и является показателем Херста.
Второй способ включает все описанные этапы, но для каждого временного промежутка t выполняется сдвиг вдоль ряда. Иначе говоря, ряд разбивается на несколько диапазонов длиной для каждого из которых определяется показатель R/S, а затем рассчитывается среднее значение, которое и откладывается на графике для нахождения показателя Херста. Заметим, что этот способ дает обобщенные данные по всему ряду и к исследованию инвестиционных процессов должен применяться с некоторыми предостережениями. Ведь применение R/S-анализа сразу ко всему ряду предполагает, что природа процессов, на основе которых строится ряд (например, инвестиций), остается неизменной в течение продолжительного периода, тогда как в случае с инвестициями это маловероятно. Однако применение R/S-анализа с усреднением по всему временному промежутку позволяет выделить общие закономерности развития, в частности - порядок организации процесса, преобладающего на большей части временного промежутка.
Описанная последовательность обработки данных реализуется в программе Fractan 4.4 (автор В. Сычов), находящейся в свободном доступе в сети Интернет. Эта программа и использовалась для математической обработки данных. Корректность ее работы проверялась при тестировании гаусового шума (стохастического процесса), для которого получено значение фрактальной размерности 1,54, что является удовлетворительным результатом (ведь идеальное значение фрактальной размерности для стохастических процессов составляет 1,5). Корректность работы данной программы подтверждается также другими авторами. Описанный алгоритм R/S -анализа реализован в пакете Excel. Сопоставление полученных результатов прямых расчетов, хотя показателя Херста и результата, который дает программа Fractan 4.4, подтвердило, что они идентичны. Причем в этой программе графики зависимости R/S от времени получаются более плавными за счет применения быстрого алгоритма R/S-анализа к совокупности последовательных интервачов с постепенным сдвигом. Проведем исследование поведения индекса Доу-Джонса (рис. 1).
Даже осуществляя поверхностный анализ поведения индекс?/p>