Теория упругости
Информация - Физика
Другие материалы по предмету Физика
Российский государственный университет
нефти и газа им. И.М.Губкина
Кафедра технической механики
РЕФЕРАТ
Теория упругости
Выполнил: Поляков А. А.
МИ-09- 1
Проверил: Евдокимов А.П.
Москва 2011
СОДЕРЖАНИЕ
теория упругость уравнение
1. Введение
. Теория напряженно-деформированного состояния в точке тела
2.1 Теория напряжений
.2 Теория деформаций
.3 Связь между напряженным и деформированным состоянием для упругих тел
. Основные уравнения теории упругости . Типы задач теории упругости
.1 Основные уравнения теории упругости
.2 Типы задач теории упругости
.3 Прямая и обратная задачи теории упругости
.4 Уравнения теории упругости в перемещениях(уравнения Ламе)
. Вариационные принципы теории упругости
.1 Принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа)
.2 Принцип возможных состояний (принцип Кастильяно)
.3 Соотношение между точным решением и решениями, получаемыми на основе принципов Лагранжа и Кастильяно
. Список использованной литературы
1. Введение
Теории напряжений и деформаций были созданы О. Коши. Они изложены в работе, представленной в Парижскую академию наук в 1822 г., краткое содержание которой опубликовано в 1823 г. и ряде последующих статей. О.Коши вывел три уравнения равновесия элементарного четырехгранника, доказал закон парности касательных напряжений, ввел понятия главных осей и главных напряжений и вывел дифференциальные уравнения равновесия (обычно они в курсе сопротивления материалов не выводятся). Им же введена поверхность нормальных напряжений (квадрика Коши), на которой располагаются концы радиус-векторов, направления которых совпадают с направлением нормалей к площадкам, а величина обратно пропорциональна корню квадратному из абсолютной величины нормального напряжения в этой площадке, и доказано, что эта поверхность является поверхностью второго порядка iентром в начале координат. Возможность преобразования поверхности нормальных напряжений к главным осям свидетельствует о существовании в каждой точке трех взаимно главных перпендикулярных площадок.
Аналогичная поверхность касательных напряжений была введена русским механиком Г.В. Колосовым в 1933 г.
Геометрическая интерпретация напряженного состояния в пространстве в виде эллипсоида напряжений была дана Г. Ламе и Б. Клапейроном в их мемуарах, представленных в Парижскую академию наук в 1828 г. и опубликованных в 1833 г.
Геометрическое изображение напряженного состояния на плоскости для одной серии площадок, проходящих через главную ось, в виде окружности напряжений было предложено К. Кульманом в его книге в 1866 г.
Для общего случая напряженного состояния очень наглядная геометрическая интерпретация его на плоскости дана О. Мором (так называемая круговая диаграмма Мора) в 1882 г. Из нее можно сделать ряд важных заключений об экстремальности главных напряжений, положении площадок, в которых касательные напряжения максимальны, и о величинах этих максимальных касательных напряжений.
О.Коши дал определение деформаций, вывел зависимость их от перемещений в частном случае малых деформаций (эти зависимости, как правило, в курсе сопротивления материалов не выводятся), определил понятия главных напряжений и главных деформаций и получил зависимости компонентов напряжений от компонентов деформаций, как для изотропного, так и для анизотропного упругого тела. В сопротивлении материалов обычно устанавливаются зависимости компонентов деформаций от компонентов напряжений для изотропного тела. Они называются обобщенным законом Гука, хотя, конечно, это название условно, так, как Р. Гуку понятие напряжения известно, не было.
В указанных зависимостях Коши вначале ввел две постоянных и записал зависимости напряжений от деформаций в виде
m, ,
, ,
где ,
Однако в дальнейшем О.Коши принял концепцию Л. Навье. Согласно ей упругие тела состоят из молекул, между которыми при деформировании возникают силы, действующие по направлениям прямых линий, соединяющих молекулы, и пропорциональные изменению расстояний между молекулами. Тогда число упругих постоянных для общего случая анизотропного тела равно 15, а для тела изотропного получаем одну упругую постоянную. Этой гипотезы придерживался С. Пуассон, а вначале - Г. Ламе и Б. Клапейрон. На основании ее Пуассон установил, что коэффициент поперечной деформации равен 1/4.
Д. Грин в 1839 г. вывел зависимость между деформациями и напряжениями без использования гипотезы о молекулярном строении упругих тел . Он получил их на основе принципа сохранения энергии, введя понятие упругого потенциала, и показал, что при использовании линейных зависимостей шести компонентов деформаций от шести компонентов напряжений из 36 коэффициентов независимыми являются 21, т.е.в общем случае анизотропного тела число упругих постоянных равно 21. Для изотропного тела число упругих постоянных снижается до двух. Теория, в которой число упругих постоянных для анизотропного тела равно 15, а для изотропного 1, иногда называлась рариконстантной или униконстантной, а теория, в которой число упругих постоянных для анизотропного тела равно 21, а для изотропного 2 - мультиконстантной.
Спор между сторонниками этих теорий п