Теория упругости
Информация - Физика
Другие материалы по предмету Физика
;
Отметим, что запись иц в данном случае не подразумевает суммирования по i.
Подставив во второе уравнение равенств (19) выражение (23), получим, что касательные напряжения
(25)
Запишем уравнения равновесия (18) в развернутом виде для j = 1
(26)
Подставив в уравнение (26) выражения для нормальных (24) и касательных (25) напряжений, получим
(27)
где ?- константа Ламе, которая определяется по выражению:
(28)
Подставим выражение (28) в уравнение (27) и запишем,
(29)
где определяется по выражению (22), или в развернутом виде
Разделим выражение (29) на G и приведем подобные слагаемые и получим первое уравнение Ламе:
(30)
где - оператор Лапласа (гармонический оператор), который определятся как
(31)
Аналогично можно получить:
(32)
Уравнения (30) и (32) можно записать в следующем виде:
(33)
Уравнения (33) или (30) и (32) являются уравнениями Ламе. Если объемные силы равны нулю или постоянны, то
(34)
причем запись в данном случае не подразумевает суммирования по i. Здесь
(35)
или, с учетом (31)
(36)
Подставив (22) в (34) и проведя преобразования, получим
а, следовательно
(37)
где - функция, удовлетворяющая данному равенству. Если
следовательно, f - функция гармоническая. Значит и объемная деформация также функция гармоническая.
iитая верным предыдущее предположение, возьмем гармонический оператор от i -ой строчки уравнения Ламе
(38)
где
(39)
Если объемные силы равны нулю или постоянны, то компоненты перемещения есть бигармонические функции.
Известны различные формы представления бигармонических функций через гармонические (удовлетворяющие уравнениям Ламе).
где k = 1,2,3. Причем
и
Можно показать, что такое представление перемещений через гармоническую функцию обращает в тождество уравнения Ламе (33). Часто их называют условиями Попковича-Гродского. Четыре гармонические функции не обязательны, ведь ф0 можно приравнять нулю.
4. Вариационные принципы Теории упругости.
.1 Принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа)
Принцип Лагранжа. Для тела, находящегося в равновесии, работа внешних и внутренних сил на любых возможных бесконечно малых приращениях перемещений равна нулю.
Используя теорему Клапейрона ,что для упругодеформированного тела варьируя перемещением, получаем принцип Лагранжа
(40)
Возможными в механике деформируемых тел называют такие перемещения, которые удовлетворяют внешним и внутренним связям, наложенным на тело.
Внешние связи - это условия закрепления, внутренние связи - условие сплошности.
Чтобы удовлетворить внутренним связям, надо, чтобы приращения перемещений были непрерывными однозначными функциями координат.
В такой форме принцип Лагранжа справедлив для любых деформируемых тел.
Для упругих тел было получено, что
(41)
Тогда (40) с учетом (41) запишется как
(42)
где W - удельная деформация, а
(43)
Здесь U - вариация всей потенциальной энергии тела.
Подставим в (42) выражение (43), и, поскольку силы не варьируются, запишем, что
(44)
Уравнение (44) является вариационным уравнением Лагранжа.
Если силы консервативны, то первые два интеграла представляют собой изменение потенциала внешних сил при переходе из недеформирован-ного состояния в деформированное.
Потенциал внешних сил
(45)
где - возможная работа внешних сил при переходе из недеформирован-ного в деформированное состояние вычислена в предположении, что внешние силы остаются неизменными. Полная энергия системы
(46)
Тогда с учетом выражений (44) - (46) принцип Лагранжа запишется:
(47)
то есть вариация полной энергии системы в положении равновесия на возможных перемещениях равна нулю. Выражение (47) является вариационным уравнением Лагранжа в случае действия только консервативных сил.
В положении устойчивого равновесия полная энергия П минимальна,
когда
Принцип Лагранжа - принцип минимальной энергии.
.2 Принцип возможных состояний (принцип Кастильяно)
Будем называть возможными состояниями такие, которые находятся в соответствии с внешними и внутренними силами, то есть удовлетворяющие уравнениям равновесия.
Удельная дополнительная работа в случае линейно-упругого тела записывается по выражению,
(49)
Тогда, взяв вариацию дополнительной энергии тела и подставив в выражение (48) уравнение (49), получаем
или, используя уравнение (50), можно записать
(51)
Рассмотрим возможные напряженные состояния при действии на тело объемных сил. Так как рассматриваются возможные напряженные состояния, то
Следовательно, откуда следует, что
При действии поверхностных сил связь напряжений и усилий можно записать
(52)
Рассмотрим возможные напряженные состояния. В этом случае
Откуда также следует, что
Вернемся к подинтеральному выражению уравнения (51). Выразим деформации через перемещения (17) и запишем или
<