Теория упругости
Информация - Физика
Другие материалы по предмету Физика
ти доказывается закон парности касательных напряжений, согласно которому по двум взаимно перпендикулярным площадкам составляющие касательных напряжений, перпендикулярные линии пересечения этих площадок, равны друг другу:
(2)
Равенства (2) приводят к тому, что из девяти составляющих напряжений, характеризующих напряженное состояние в точке тела, остаются только шесть:
(3)
Можно показать, что напряжения (3) не просто характеризуют напряженное состояние тела в данной точке, но определяют его однозначно. Совокупность этих напряжений образует симметричную матрицу, которая называется тензором напряжений:
(4)
Так как в каждой точке будет свой тензор напряжений, то в теле имеется поле тензоров напряжений.
Тензоры можно складывать и вычитать, при этом суммой двух тензоров является тензор, компоненты которого представляют собой сумму соответствующих компонентов слагаемых тензоров.
При умножении тензора на скалярную величину получится новый тензор, все компоненты которого в раз больше компонентов исходного тензора.
.2 Теория деформаций
Под действием внешних нагрузок упругое тело изменяет свою форму, деформируется. При этом точки тела принимают какое-то новое положение. Для определения деформации упругого тела сравним положения точек тела до и после приложения нагрузки.
Рассмотрим точку ненагруженного тела и ее новое положение после приложения нагрузки. Вектор называется вектором перемещения точки (рис.2).
Рис.2. Вектор перемещения точки
Возможны два вида перемещений: перемещение всего тела как единого целого без деформирования - такие перемещения изучает теоретическая механика как перемещения абсолютно твердого тела, и перемещение, связанное с деформацией тела - такие перемещения изучает теория упругости.
Обозначим проекции вектора перемещения точки на координатные оси через соответственно. Они равны разности соответствующих координат точек и :
и являются функциями координат:
Деформирование тела вызвано разницей в перемещениях различных его точек. Бесконечно малый параллелепипед с ребрами вырезанный из упругого тела около произвольной точки , вследствие различных перемещений его точек деформируется таким образом, что изменяется длина его ребер и искажаются первоначально прямые углы между гранями.
На рис.3.3 показаны два ребра этого параллелепипеда: и длина ребра равна а ребра -
После деформации точки принимают положение При этом точка получит перемещение, составляющие которого в плоскости чертежа равны и Точка отстоящая от точки на бесконечно малом расстоянии получит перемещение, составляющие которого будут отличаться от составляющих перемещения точки на бесконечно малую величину за iет изменения координаты
Рис.3. Линейные и угловые деформации
Составляющие перемещения точки будут отличаться от составляющих перемещения точки на бесконечно малую величину за iет изменения координаты
Длина проекции ребра на ось после деформации:
(5)
Проекция абсолютного удлинения ребра на ось
Относительное удлинение вдоль оси
(6)
называется линейной деформацией по направлению оси .
Аналогично определяются линейные деформации по направлениям осей и
(7)
Рассмотрим изменение углов между ребрами параллелепипеда (рис.3). Тангенс угла поворота ребра в плоскости
Вследствие малости деформаций а линейной деформацией можно пренебречь ввиду ее малости по сравнению с единицей, и тогда
Аналогичным образом можно определить угол поворота ребра в той же плоскости:
Искажение прямого угла называется угловой деформацией и определяется как сумма углов поворота ребер и :
(8)
Таким же образом определяются угловые деформации в двух других координатных плоскостях:
(9)
Формулы (6)-(9) дают шесть основных зависимостей для линейных и угловых деформаций от составляющих перемещения. Эти зависимости называются уравнениями Коши:
(10)
В пределе, когда длины ребер параллелепипеда стремятся к нулю, соотношения Коши определяют линейные и угловые деформации в окрестности точки
Положительным линейным деформациям соответствуют удлинения, а отрицательным - укорочения. Угол сдвига iитается положительным при уменьшении угла между положительными направлениями соответствующих координатных осей и отрицательным - в противном случае.
Аналогично тензору напряжений, деформированное состояние тела в данной точке описывается тензором деформаций
(11)
Как и тензор напряжений, тензор деформаций является симметричной матрицей, которая содержит девять компонентов, шесть из которых являются различными.
2.3 Связь между напряженным и деформированным состоянием для упругих тел
Зависимости между напряжениями и деформациями носят физический характер. Ограничиваясь малыми деформациями, связь между напряжениями и деформациями можно iитать линейной.
При испытании стержня на растяжение (о механических испытаниях материалов будет подробно рассказано в следующем разделе) установлена пропорциональная зависимость между нормальным напряжением и линейной деформацией в одном