Теория упругости
Информация - Физика
Другие материалы по предмету Физика
?аправлении, которая называется законом Гука:
(12)
где упругая постоянная называется модулем продольной упругости.
Тем же экспериментальным путем установлена связь между линейными деформациями в продольном и поперечном направлениях:
(13)
где - линейная деформация в поперечном направлении, - вторая упругая постоянная, называемая коэффициентом Пуассона.
При механических испытаниях на чистый сдвиг установлена прямо пропорциональная зависимость между касательным напряжением и угловой деформацией в плоскости действия этого напряжения, которая получила название закона Гука при сдвиге:
(14)
где величина является третьей упругой постоянной и называется модулем сдвига. Однако эта упругая постоянная не является независимой, т.к. связана с первыми двумя зависимостью
(15)
Чтобы установить зависимости между деформациями и напряжениями, выделим из тела бесконечно малый параллелепипед (рис.1) и рассмотрим действие только нормальных напряжений Разницей напряжений на противоположных гранях параллелепипеда можно пренебречь, т.к. она приводит к деформациям более высокого порядка малости.
Определим удлинение ребра параллельного напряжению При действии этого напряжения согласно закону Гука (3.12) произойдет относительное удлинение ребра
Напряжение вызывает аналогичное удлинение в направлении, перпендикулярном ребру
а в направлении ребра - укорочение, которое согласно (13) составляет
или, с учетом выражения деформации
Аналогично определяется относительное укорочение ребра при действии напряжения
На основании принципа независимости действия сил полное относительное удлинение ребра можно определить как сумму удлинений от действия каждого напряжения:
или
Аналогично можно определить линейные деформации по направлениям двух других осей:
В соответствии с законом Гука при сдвиге (14) связь между угловыми деформациями и касательными напряжениями можно представить независимо для каждой из трех плоскостей, параллельных координатным плоскостям:
Таким образом, получены шесть формул, которые выражают линейную зависимость между составляющими деформации и напряжений в изотропном упругом теле и называются обобщенным законом Гука:
(16)
3. Основные уравнения теории упругости . Типы задач теории упругости
Основная задача теории упругости - определение напряженно-деформированного состояния по заданным условиям нагружения и закрепления тела.
Напряженно-деформированное состояние определено, если найдены компоненты тензора напряжений {s} и вектора перемещений , девять функций.
3.1 Основные уравнения теории упругости
Для того, чтобы найти эти девять функций надо записать основные уравнения теории упругости, или:
Дифференциальные Коши
(17)
где - компоненты тензора линейной части деформаций Коши;
компоненты тензора производной перемещения по радиусу.
Дифференциальные уравнения равновесия
(18)
где - компоненты тензора напряжений; - проекция объемной силы на ось j.
Закон Гука для линейно-упругого изотропного тела
(19)
где - константы Ламе; для изотропного тела. Здесь - нормальные и касательные напряжения; деформации и углы сдвига соответственно.
Вышеперечисленные уравнения должны удовлетворять зависимостям Сен-Венана
(20)
В теории упругости задача решена, если выполняются все основные уравнения.
.2 Типы задач теории упругости
Граничные условия на поверхности тела должны выполняться и в зависимости от типа граничных условий различают три типа задач теории упругости.
Первый тип. На поверхности тела заданы силы. Граничные условия
Второй тип. Задачи, в которых на поверхности тела задано перемещение. Граничные условия
Третий тип. Смешанные задачи теории упругости. На части поверхности тела заданы силы, на части поверхности тела задано перемещение. Граничные условия
.3 Прямая и обратная задачи теории упругости
Задачи, в которых на поверхности тела заданы силы или перемещения, а требуется найти напряженно-деформированное состояние внутри тела и то, что не задано на поверхности, называют прямыми задачами. Если же внутри тела заданы напряжения, деформации, перемещения и т.д., а требуется определить то, что не задано внутри тела, а также перемещения и напряжения на поверхности тела (то есть найти причины, вызвавшие такое напряженно-деформированное состояние) ), то такие задачи называются обратными.
.4 Уравнения теории упругости в перемещениях (уравнения Ламе)
Для определения уравнений теории упругости в перемещениях запишем: дифференциальные уравнения равновесия (18) закон Гука для линейно-упругого изотропного тела (19)
Если учесть, что деформации выражаются через перемещения (17), запишем:
(22)
Следует также напомнить, что угол сдвига связан с перемещениями следующим соотношением (17):
(23)
Подставив в первое уравнение равенств (19) выражение (22), получим, что нормальные напряжения
(24)