Теория упругости
Информация - Физика
Другие материалы по предмету Физика
обудил физиков к экспериментальным исследованиям.
Г. Вертгейм на основании замеров внутренних объемов стеклянных и металлических труб при осевом растяжении установил в 1848 г., что коэффициент поперечной деформации не равен 1/4. Он iитал его различным для различных материалов, но для многих материалов близким к 1/3.
А.Я. Купфер, испытывая в 1853 г. на растяжение и кручение, металлические стержни, также получил, что отношение модулей при сдвиге и растяжении не соответствует величине поперечной деформации, равной 1/4.
Ф. Нейманн испытывал в 1855 г. на изгиб образцы прямоугольного поперечного сечения и измерял при этом углы поворота двух граней балки, (перечное сечение принимает трапецеидальную форму). В результате он показал, что коэффициент поперечной деформации не равен 1/4. К такому же выводу пришел Г. Кирхгоф, ученик Ф.Неймана, на основании проведенных в 1859 г. испытаний на совместный изгиб и кручение круглых латунных стержней, заделанных одним концом и нагруженных на другом сосредоточенной силой, с замером угла закручивания стержня и угла поворота сечения.
Большое экспериментальное исследование коэффициентов поперечной деформации для различных сортов стали, провел один из учеников Г.Кирхгофа М.Ф. Окатов в 1865 - 1866 гг. Результаты приведены в его докторской диссертации .Испытания на кручение и изгиб тонких призм, вырезанных из монокристаллов, а также испытания сжимаемости кристаллов при всестороннем равном сжатии были проведены В.Фойгтом и описаны в его многочисленных статьях, объединенных в дальнейшем в книге, опубликованной в 1910 г. Они подтвердили правильность мультиконстантной теории.
Глубокое исследование математической структуры закона Гука для анизотропных тел было проведено механиком и инженером Яном Рыхлевским в 1984 г. на основе введенного им понятия собственного упругого состояния. В частности, им показано, что 21 упругая постоянная представляет собой шесть истинных модулей жесткости, 12 дистрибуторов жесткости и три угла.
2. Теория напряженно-деформированного состояния в точке тела
.1 Теория напряжений
Внутренние силовые факторы, возникающие при нагружении упругого тела, характеризуют состояние того или иного сечения тела, но не дают ответа на вопрос о том, какая именно точка поперечного сечения является наиболее нагруженной, или, как говорят, опасной точкой. Поэтому необходимо ввести в рассмотрение какую-то дополнительную величину, характеризующую состояние тела в данной точке.
Если тело, к которому приложены внешние силы, находится в равновесии, то в любом его сечении возникают внутренние силы сопротивления. Обозначим через внутреннее усилие, действующее на элементарную площадку , а нормаль к этой площадке через тогда величина
(1)
называется полным напряжением.
В общем случае полное напряжение не совпадает по направлению с нормалью к элементарной площадке, поэтому удобнее оперировать его составляющими вдоль координатных осей -
Если внешняя нормаль совпадает с какой-либо координатной осью, например, с осью Х, то составляющие напряжения примут вид при этом составляющая оказывается перпендикулярной сечению и называется нормальным напряжением, а составляющие будут лежать в плоскости сечения и называются касательными напряжениями.
Чтобы легко различать нормальные и касательные напряжения обычно применяют другие обозначения: - нормальное напряжение, - касательное.
Выделим из тела, находящегося под действием внешних сил, бесконечно малый параллелепипед, грани которого параллельны координатным плоскостям, а ребра имеют длину . На каждой грани такого элементарного параллелепипеда действуют по три составляющие напряжения, параллельные координатным осям. Всего на шести гранях получим 18 составляющих напряжений.
Нормальные напряжения обозначаются в виде , где индекс обозначает нормаль к соответствующей грани (т.е. может принимать значения ). Касательные напряжения имеют вид ; здесь первый индекс соответствует нормали к той площадке, на которой действует данное касательное напряжение, а второй указывает ось, параллельно которой это напряжение направлено (рис.1).
Рис.1. Нормальные и касательные напряжения
Для этих напряжений принято следующее правило знаков. Нормальное напряжение iитается положительным при растяжении, или, что то же самое, когда оно совпадает с направлением внешней нормали к площадке, на которой действует. Касательное напряжение iитается положительным, если на площадке, нормаль к которой совпадает с направлением параллельной ей координатной оси, оно направлено в сторону соответствующей этому напряжению положительной координатной оси.
Составляющие напряжений являются функциями трех координат. Например, нормальное напряжение в точке с координатами можно обозначать
В точке, которая отстоит от рассматриваемой на бесконечно малом расстоянии, напряжение с точностью до бесконечно малых первого порядка можно разложить в ряд Тейлора:
Для площадок, которые параллельны плоскости изменяется только координата х, а приращения Поэтому на грани параллелепипеда, совпадающей с плоскостью нормальное напряжение будет , а на параллельной грани, отстоящей на бесконечно малом расстоянии , - Напряжения на остальных параллельных гранях параллелепипеда связаны аналогичным образом. Следовательно, из 18 составляющих напряжения неизвестными являются только девять.
В теории упругос