Симметрические многочлены от трех переменных
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
ОТ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ
КУРСОВАЯ РАБОТА
ВВЕДЕНИЕ
Одним из самых сложных для школьников разделов алгебры является решение систем уравнений высших степеней.
Для квадратного уравнения с одним неизвестным
x+px+q=0
выводится формула
x=-,
указывающая стандартный путь решения. Для систем уравнений первой степени тоже есть стандартные приемы решения. Однако для систем уравнений высших степеней дело обстоит сложнее.
Наиболее общим способом решения таких систем является метод исключения неизвестных. Теоретически из любой системы двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными можно, исключая одно неизвестное, получить уравнение второго неизвестного. Однако не всегда процесс исключения является простым. Наибольшим же неудобством метода исключения является то, что он часто приводит к уравнению очень высокой степени. В высшей алгебре доказывается, что если одно уравнение системы имеет степень n, а второе - m, то после исключения, как правило, получается уравнение степени mn.
Возьмем, например, систему
Из первого уравнения находим: x=5?y, и потому
x=(5?y)=125?75y+15y-y.
Точно так же из второго уравнения получаем: x=9-y, и потому
=81-18y+y.
Приравнивая найденные значения для x, получаем уравнение, содержащее только одно неизвестное y:
y
Из-за этих недостатков метод исключения используют в школе довольно редко. Обычно стараются решить систему с помощью какого-нибудь искусственного приема. Но общих правил отыскания таких приемов нет. Каждая система решается своим методом, и опыт, полученный при решении одной системы, мало помогает при решении другой. В результате этот раздел школьной математики превращается в набор головоломок и отдельных кустарных методов их решения.
Моя цель - познакомить вас с одним довольно общим методом решения систем уравнений высших степеней. Он не столь универсален, как метод исключения, так как может быть применен не ко всякой системе. Однако этот метод применим к большинству систем, с которыми сталкивается школьник. Существенно, что, в отличие от метода исключения, он приводит не к повышению, а к понижению степени уравнений.
Метод, о котором идет речь, основан на использовании теории так называемых симметрических многочленов. Сама теория очень проста и она позволяет решать не только многие системы алгебраических уравнений, но и различные другие алгебраические задачи (решение иррациональных уравнений, доказательство тождеств и неравенств, разложение на множители и так далее). С помощью теории симметрических многочленов решение этих задач заметно упрощается и, что самое главное, проводится стандартным приемом.
СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ
Определение и примеры
В многочлене от трех переменных x, y, z перестановок можно сделать три: можно поменять местами x и y, или x и z, или, наконец, y и z. Назовем многочлен ?(x, y, z) от трех переменных x, y, z симметрическим, если при любой из этих трех перестановок он остается неизменным.
Условие симметричности многочлена ?(x, y, z) записывается следующим образом:
?(x, y, z)=?(y, x, z)=?(z, y, x)=?(x, z, y).
Например, из коммутативности сложения вытекает, что симметричным является многочлен x+y+z, а из коммутативности умножения следует симметричность многочлена xyz.
Симметричны и степенные суммы, то есть многочлены
sk=xk+yk+zk.
Вот еще примеры симметрических многочленов от трех переменных:
xy+yz+xz, x3+y3+z3-3xyz,
(x+y)(x+z)(y+z), x(y4+z4)+y(x4+z4)+z(x4+y4).
Напротив, многочлен
x2z+y2z
не является симметрическим. Правда, при перестановке переменных x и y он не меняется:
x2z+y2z=y2z+x2z.
Но перестановка переменных x и z меняет вид этого многочлена - он переходит в многочлен
z2x+y2xx2z+y2z.
Наиболее простыми являются симметрические многочлены
x+y+z, xy+xz+yz, xyz.
Их называют элементарными симметрическими многочленами от трех переменных x, y, z и обозначают через , , :
Заметим, что - многочлен первой степени, - второй степени и - третьей.
Основная теорема о симметрических многочленах от трех переменных.
Возьмем любой многочлен от переменных , , и заменим в нем на x+y+z, - на xy+xz+yz и - на xyz. В результате мы получим многочлен, симметрично зависящий от x, y, z. Например, из многочлена
мы получим таким путем многочлен
?(x, y, z)=(x+y+z)3-3(x+y+z)(xy+xz+yz)-xyz.
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем симметрический многочлен
?(x, y, z)=x3+y3+z3-4xyz.
Любой симметрический многочлен от x, y, z можно представить в виде многочлена от , , .
План доказательства таков. Сначала мы покажем, что любая степенная сумма sk может быть выражено через элементарные симметрические многочлены , , . Затем мы рассмотрим более сложные симметрические многочлены, каждый из которых получается из некоторого одночлена всевозможными перестановками переменных и суммированием получившихся результатов. Такие симметрические многочлены будем называть орбитами соответствующих одночленов. Мы покажем, что каждая орбита выражается через степенные суммы, а значит, в конечном итоге, через , , на