Симметрические многочлены от трех переменных
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
юбом другом порядке.
Большинство понятий, введенных в случае симметрических переменных от трех переменных таким же точно образом определяются и в общем случае. Например, степенной суммой степени k от n переменных x1, x2,…, xn, называют выражение
sk=x1k+x2k+…+xnk.
Далее, орбитой одночлена называют сумму всех одночленов, получаемых из перестановками переменных. Например, в случае n=4, то есть в случае четырех переменных x1, x2, x3, x4 имеем:
(x12x23)=x12x23+x12x33+x12x43+x22x13+x22x33+x22x43+x32x13+x32x23+
+x32x43+x42x13+x42x23+x42x33.
В частности,
sk=0(x1k).
Для дальнейшего полезно следующее замечание: чтобы получить орбиту одночлена , можно переставлять не буквы x1, x2,…, xn, а показатели . Конечно, при этом в записи одночлена надо указать и не входящие в него буквы (с нулевыми показателями). Например, одночлен x12x23, орбиту которого мы выше выписывали, следует записать в виде x12x23x30x40 и затем уже производить всевозможные перестановки показателей.
Кроме того, отметим, что орбита одночлена порождается любым из входящих в нее одночленов:
(x14x22x30)=0(x10x24x32)=0(x12x20x34) и так далее
Несколько сложнее определяются элементарные симметрические многочлены. Чтобы ввести соответствующее определение, вспомним, как определялись эти многочлены в случае трех переменных. Мы имели в этом случае три многочлена:
Первый из них является суммой всех переменных x1, x2, x3, то есть орбитой одночлена x1:
=0(x1).
Второй многочлен получается из одночлена x1x2 путем всевозможных перестановок переменных и суммирования полученных результатов. Иными словами, он является орбитой одночлена x1x2:
=0(x1x2).
Наконец, является орбитой одночлена x1x2x3 (в данном случае эта орбита состоит из одного слагаемого).
По аналогии положим для случая нескольких переменных:
=0(x1),
=0(x1x2),
………………
=0(x1x2…xk),
………………
=0(x1x2…xn).
Из этой записи видно, что число элементарных симметрических многочленов равно числу переменных.
В развернутом виде многочлены , ,…, выглядят следующим образом. Первый из них есть просто сумма всех n переменных:
=x1+x2+…+xn.
Второй многочлен есть сумма всех произведений переменных, взятых по два (при этом в произведениях сомножители располагаются в порядке возрастания значков). Таким образом,
=x1x2+x1x3+…+x1xn+x2x3+…+x2xn+…+xn-1xn,
или, короче
(знак обозначает сумму; внизу указано, что i и j меняются от 1 до n, причем в каждом произведении).
Точно так же третий многочлен получается, если перемножить переменные по три (так, чтобы в каждом произведении значки увеличились) и сложить получившиеся произведения. Таким образом,
.
Вообще k - й многочлен имеет вид
Наконец, последний многочлен равен произведению всех переменных:
=x1x2…xn.
Ясно, что k - й многочлен является однородным и имеет степень k относительно переменных x1, x2,…, xn.
Пример. Если n=4, то простейшие симметрические многочлены имеют вид
Число слагаемых в элементарном симметрическом многочлене степени k от n переменных равно числу сочетаний из n по k, то есть равно
Основная теорема о симметрических многочленах от нескольких переменных
Точно так же как и в случае трех переменных, любой симметрический многочлен от n переменных можно представить в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов , ,…, . Точнее говоря, имеем следующее утверждение.
Пусть ?(x1, x2,…, xn) - симметрический многочлен от n переменных. Тогда существует такой многочлен , что если подставить в него вместо , ,…, их выражения через x1, x2,…, xn, то есть
то получится многочлен, тождественно равный ?(x1, x2,…, xn). Многочлен , обладающий указанным свойством, существует только один.
Эта теорема доказывается примерно так же, как и в случае многочленов от трех переменных, но с некоторыми усложнениями, вызванными увеличением числа переменных.
Именно, сначала доказывают, что любая степенная сумма может быть выражена через элементарные симметрические многочлены. После этого доказывают, что орбита любого одночлена, содержащего k переменных, выражается через орбиты одночленов от меньшего числа переменных и, в конце концов, - через степенные суммы. Наконец, любой симметрический многочлен от n переменных разлагают на орбиты одночленов. Однако при проведении такого доказательства неудобно использовать те орбиты, которые были определены выше, а следует применять полные орбиты. Именно, если в одночлене все показатели k1, k2,…, kn различны, то орбита 0() содержит n! членов, получающихся из рассмотренного одночлена всевозможными перестановками переменных x1,x2,…,xn. Выпишем это выражение орбиты 0() и назовем его полной орбитой одночлена . Полную орбиту 0П() мы будем рассматривать не только в случае различных показателей k1, k2,…, kn (когда она совпадает с обычной орбитой), но и в случае любых показателей. В любом случае полная орбита 0П() отличается от обычной орбиты 0() лишь числовым множителем, который легко найти, зная, что при любых показателях k1, k2,…, kn сумма коэффициентов в полной орбите равна n!. Именно, если среди показателей k1, k2,…, kn имеется n1 совпадающих между собой, затем n2 совпадающих показателей, отличных от первых, и так далее, вплоть до последней группы nl равных между собой показателей, то
П()=n1!n2!...nl!0().
Мы не будем давать детального доказ