Симметрические многочлены от трех переменных
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
и x=y последнее равенство принимает вид g(x, x, z)=g(x, x, z) и также, очевидно, справедливо. Итак, при любых x,y,z имеет место равенство g(x, y, z)=g(y, x, z), то есть g(x, y, z) - симметрический многочлен. Теорема доказана.
Итак, для антисимметрических многочленов от трех переменных имеет место следующее утверждение.
Любой антисимметрический многочлен ?(x, y, z) от трех переменных x, y, z является произведением многочлена
Т=(x-y)(x-z)(y-z)
на некоторый симметрический многочлен g(x, y, z) от трех переменных
x, y, z ?(x, y, z)=(x-y)(x-z)(y-z)g(x, y, z)=Тg(x, y, z).
Дискриминант и его применение к исследованию корней уравнения.
Мы видели, что в теории антисимметрических многочленов важную роль играют простейшие антисимметрические многочлены, а именно, многочлен Т=(x-y)(x-z)(y-z) для трех переменных. Квадрат простейшего антисимметрического многочлена называют дискриминантом. Таким образом он равен
=(x-y)2(x-z)2(y-z)2,
(7)
Для сравнения приведем другой вывод формулы (7) с помощью метода частных значений. Дискриминант (x, y, z) является однородным многочленом шестой степени. Поэтому в его выражение через , , могут входить (с некоторыми коэффициентами) лишь такие одночлены, для которых m+2n+3p=6 (так как - многочлен первой степени, - второй и - третьей). Уравнение m+2n+3p=6 имеет в целых неотрицательных числах семь решений, указанных в таблице 4.
Таблица 4
mnpmnpmnp6 40 10 03 2 10 2 11 0 10 03 00 2
Иными словами, выражение дискриминанта (x, y, z) через , , имеет вид
(x, y, z)=,()
где A, B, C, D, F, G - некоторые коэффициенты. Так как соотношение () представляет собой тождество, то мы можем подставлять в это соотношение любые значения x, y, z.
Положим x=1, y=z=0; в этом случае , и (1, 0, 0)= =(1-0)2(0-0)2(0-1)2=0. Поэтому равенство () принимает вид 0=А. Итак, коэффициент А найден.
Теперь положим x=0, y=1, z=-1; в этом случае , , , =4, и соотношение () принимает вид 4=F(-1)3, то есть F=-4.
При x=2, y=z=-1 (то есть , , ) получаем из соотношения (): (-4)(-3)3+4G=0, откуда находим G=-27.
Затем мы положим x=0, y=z=1 (то есть , , ) и, кроме того, x=0, y=1, z=2 (то есть , , ). Это даст нам (учитывая, что А=0, F=-4) следующие два соотношения:
Рассматривая эти соотношения как систему уравнений относительно неизвестных B и D, легко находим: В=0, D=1.
Наконец, придадим величинам x, y, z еще две системы значений: x=y=z=1 и x=y=1, z=-1. Мы получим тогда (учитывая, что коэффициенты A, B, D, F, G нам уже известны) следующие соотношения:
откуда без труда находим C=-4, E=18.
Итак, все коэффициенты A, B, C, D, F, G определены. Подставляя в соотношение () найденные значения этих коэффициентов, мы и получаем формулу (7).
Дискриминант играет важную роль в теории алгебраических уравнений. С его помощью можно узнать, совпадают ли их корни, исследовать число действительных корней и так далее
Рассмотрим квадратное уравнение. Пусть x1 и x2 - корни квадратного уравнения
x+px+q=0
с действительными коэффициентами p и q. По формулам Виета имеем:
и .
Поэтому
=(x1-x2)2==p2-4q.(8)
Мы ограничимся рассмотрением уравнений с действительными коэффициентами. В этом случае могут быть три возможности:
а)корни уравнения действительны и различны,
б)корни уравнения действительны и совпадают,
в)корни уравнения комплексно сопряжены.
Дискриминант позволяет ответить на вопрос, какой же из этих случаев имеет место. Проще всего выяснить, совпадают ли корни нашего уравнения. Ведь если они совпадают, то есть если x1=x2, то =(x1-x2)2=0, и наоборот. Пользуясь формулой (8), получаем следующий ответ: корни квадратного уравнения x+px+q=0 совпадают тогда и только тогда, когда p2-4q=0. Ясно, что если корни совпадают, то они действительны (поскольку x1+x2=-p). Пусть теперь x1 и x2 различны, то есть 0. Выясним, когда корни действительны, а когда они комплексно сопряжены. Если корни x1 и x2 действительны, то число x1-x2 тоже действительно, и потому =(x1-x2)2 - положительное число. Если же корни x1 и x2 комплексно сопряжены, то есть x1=, x2=, то x1-x2=, и потому =(x1-x2)2= является отрицательным числом. Вспоминая, что =p2-4q, мы получаем следующий результат:
Пусть x+px+q=0 - квадратное уравнение с действительными коэффициентами. Тогда
а)если =p2-4q>0, то корни уравнения действительны и различны;
б)если =p2-4q=0, то корни уравнения действительны и совпадают;
в)если =p2-4q<0, то корни уравнения комплексно сопряжены.
Таким образом, в случае квадратного уравнения дискриминант позволяет полностью различить случаи, когда уравнение x+px+q=0 с действительными коэффициентами имеет действительные разные, действительные совпадающие комплексные корни. С этим связано и происхождение термина дискриминант: по-латыни discriminatio означает различение.
Рассмотрим теперь кубическое уравнение
x3+nx2+px+q=0
с действительными коэффициентами n, p, q. Здесь могут встретиться такие случаи:
а)все три корня уравнения действительны и различны между собой;
б)все три корня уравнения действительны, причем два из них совпадают, а третий отличен от них;
в)все три корня уравнения совпадают (и действительны);
г)один корень уравнения действительный, а два других комплексно сопряжены.
Иных случаев быть не может.
Чтобы отличить эти случаи друг от друга, снова образуем дискриминант трех корней x1, x2, x3 нашего уравнения, то есть выражение
=(x1-x2)2(x1-x3)2(x2-x3)2.()
В силу формул Виета для кубического уравнения (u1+u2+u3=-p, u1u2+u1u3+u2u3=q, u1u2u3=-r) имеем:
и потому, согласно формуле (7),
=-4n3q+n2p2+18npq-4p3-27q2.