Симметрические многочлены от трех переменных
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
ательства теоремы. Укажем те основные формулы, которые используются в этом доказательстве:
(9)
(в этой формуле слагаемые , у которых i>n, считаются равными нулю),
П(x1kx2l)=(n-2)!(sksl-sk+l),
(n-2)0П(x1kx2lx3m)=0П(x1kx2l)sm-0П(x1k+mx2l)-0П(x1kx2l+m)
и так далее
Вообще, для любых показателей k1,…, kr+1 справедливо соотношение
(n-r)0П()=0П()-=0П()-
П()-…-0П().
Выражение степенных сумм через элементарные симметрические многочлены
Формула (9) дает возможность последовательно, одну за другой, вычислять степенные суммы sk точно так же, как и в случае многочленов от двух или трех переменных. Формула эта справедлива для любого числа переменных; надо только помнить, что если рассматриваются многочлены от n переменных, то в формуле (9) должны быть вычеркнуты все члены, содержащие выражения с индексами i, большими чем n. Благодаря такому соглашению мы можем последовательно вычислять степенные суммы sk, и получающиеся формулы годятся для многочленов от любого числа переменных. Именно, выпишем соотношение (9) для значений k=1, 2,…:
s1=1;
s2=
s3=;
s4=
s5=;
s6=;
Из этих формул мы последовательно находим значения степенных сумм:
s1=;
s2=;
s3=;
s4=;
s5=;
s6=;
Как и формула (9), эти выражения степенных сумм справедливы для любого числа переменных; надо только помнить, что если рассматриваются многочлены от n переменных, то в этих соотношениях должны быть вычеркнуты все члены, содержащие обозначения с индексами i, большими чем n. Например, если в этих формулах вычеркнуть все члены, содержащие , , ,…, то мы получим выражения степенных сумм от трех переменных, то есть получим формулы, приведенные в таблице 1. Если же мы вычеркнем еще и члены, содержащие , то получим выражения степенных сумм от двух переменных и так далее
Формула Варинга также может быть написана для выражения степенных сумм от любого числа переменных.
Она имеет вид
;
суммирование здесь распространено на все наборы неотрицательных целых чисел, удовлетворяющие условию
,
а символу 0!, если он встречается, приписывается значение 1. доказательство формулы Варинга проводится методом математической индукции на основании соотношения (9).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Болтянский В.Г., Виленкин Н.Я.
Б79 Симметрия в алгебре. - 2-е изд. - М.: МЦНМО, 2002. - 240с. - ISBN 5-94057-041-0.
2.Курош А.Г.
К93 Курс высшей алгебры. - 11-е изд. - М.: Наука, 1975. - 431с.