Симметрические многочлены от трех переменных
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
Замечание. Доказанная теорема показывает также, что если уже найденные значения величин , , , то для нахождения значений первоначальных неизвестных x, y, z (то есть для решения системы ()) достаточно составить кубическое уравнение () и найти его корни. В учебниках высшей алгебры можно найти формулы для решения кубических уравнений. Однако формулы эти сложны и на практике редко применяются. Чаще всего пытаются найти один корень кубического уравнения, после чего пользуются теоремой Безу:
Остаток от деления многочлена
?(x)=a0xn+a1xn-1+…+an
на x-a равен значению этого многочлена при x=a, то есть равен числу
?(a)=a0an+a1an-1+…+an.
Чтобы доказать эту теорему, разделим многочлен ?(x) на x-a. Мы получим частное, которое обозначим через q(x), и некоторый остаток r(x). Этот остаток является многочленом, степень которого меньше степени делителя x-a, то есть равна нулю. Поэтому r(x)=r является числом. Итак,
?(x)=(x-a)q(x)+r.
Чтобы найти число r, положим в этом равенстве x=a. Мы получим ?(a)=r. Теорема Безу доказана.
Подчеркнем еще раз, что, решив кубическое уравнение (), мы находим сразу шесть решений для первоначальных неизвестных x, y, z: так как в систему () неизвестные x, y, z входят симметрично, то можно переставлять их и в решении.
Рассмотрим пример.
1.Решить систему уравнений
Введем новые неизвестные , , , положив
x+y+z=,
xy+xz+yz=,
xyz=.
В силу формул, приведенных в таблице 1, мы имеем для новых неизвестных систему уравнений:
Из этой системы находим:
В развернутом виде эта система записывается так:
x+y+z=2,
xy+xz+yz=-1,
xyz=-2.
Для решения этой системы составляем (согласно теореме) кубическое уравнение
u3-(u1+u2+u3)u2+(u1u2+u1u3+u2u3)u-u1u2u3=0,3-2u2-u+2=0.
Левая часть уравнения раскладывается на множители:
u3-2u2-u+2=(u-2)(u2-1).
Следовательно, корнями этого уравнения являются числа
u1=2, u2=1, u3=-1.
Поэтому наша исходная система имеет шесть решений, получающихся перестановками из решения
x=2, y=1, z=-1.
Заметим, что в некоторых случаях несложная предварительная замена переменных позволяет свести несимметричную систему к симметричной.
Разложение на множители.
Переход к элементарным симметрическим многочленам , , удобен не только для решения систем алгебраических уравнений, но и в других алгебраических задачах. В этом пункте мы рассмотрим задачи о разложении на множители.
Пусть ?(x, y, z) - симметрический многочлен от трех переменных. Чтобы разложить этот многочлен на множители, можно выразить его через , , и попытаться разложить на множители получившийся многочлен от , , .
Если это удастся, то, подставляя значения ,,, мы получим разложение на множители исходного многочлена ?(x, y, z).
Рассмотрим примеры.
1.Разложить на множители многочлен
2.Разложить на множители многочлен
В силу основных формул, необходимых для решения задач, наш многочлен можно записать в виде
Указанные приемы пригодны лишь в том случае, если симметрический многочлен удается разложить на симметрические множители.
Доказательство тождеств
В целом ряде задач на доказательство тождеств с успехом могут быть применены элементарные симметрические многочлены. Рассмотрим примеры.
1.Доказать тождество
=
=
==
==
==
=.
2.Доказать, что при a+b+c=0 справедливо тождество
.
Согласно таблице 3, мы имеем:
.
В этом примере нам понадобилось вычислить значение степенной суммы при условии, что . Эти значения приведены в следующей таблице:
Таблица 3
Выражения степенных сумм sn=xn+yn+zn через ,
при выполнении условия
s10s6s2s7s3s8s4s9s5s10
3.Разложить на множители многочлен
.
Полагая a=y-z, b=z-x, c=x-y, находим:
==
(мы воспользовались формулой приведенной в таблице 3).
Неравенства
Ясно, что для любых действительных чисел x,y,z справедливо неравенство
(x-y)+(y-z)+(z-x)0,
причем равенство достигается лишь в случае, когда x=y=z. Левая часть написанного неравенства является симметрическим многочленом от x, y, z. Раскрывая скобки, мы без труда перепишем это неравенство в виде или, используя формулы, приведенные в таблице 1
(5)
Итак, для любых действительных чисел x,y,z справедливо неравенство (5); равенство достигается лишь при x=y=z.
Из соотношения (5) можно получить целый ряд других неравенств. Рассмотрим примеры.
1.Доказать, что для любых действительных чисел a, b, c, справедливо неравенство
указанное неравенство имеет вид .
Неравенство (5) имеет вид
Полагая здесь x=ab, y=ac, z=bc, получаем:
Или
а это и есть доказываемое неравенство. (Равенство достигается лишь в случае, если a=b=c или если среди чисел a, b, c какие-либо два равны нулю.).
2.Доказать, что для любых положительных чисел a, b, c, справедливо неравенство
.
Указанное неравенство можно переписать в виде поскольку можно записать .
Так как числа a, b, c положительны, то , , . Потому неравенства , можно перемножить. Мы получаем . Сокращая на положительную величину , мы получаем требуемое неравенство .
(Равенство достигается лишь в случае, если a=b=c.).
Освобождени?/p>