Разработка математической модели и оптимизации процесса производства аммиака
Дипломная работа - Химия
Другие дипломы по предмету Химия
1 расчетов точность определения экстремума составит:
(3.8)
т. е. оказывается более высокой, чем в приведенных ниже методах поиска делением интервала на равные части и золотого сечения.
Рассмотрим теперь алгоритм поиска, использующий числа Фибоначчи. Порядок его выполнения при поиске минимума складывается из следующих этапов:
1.По заданной точности , с которой необходимо найти положение экстремума функции R(х) в интервале [а, b], рассчитывается число N
.Для получения значения N находится такое число Фибоначчи F(s), чтобы выполнялось неравенство:
F(s-1) < N < F(s)(3.10)
.Определяется минимальный шаг поиска по формуле:
(3.11)
.Рассчитывается значение функции R(х) в начале интервала, т. е. R (а).
5.Следующая точка, в которой вычисляется значение R(х), находится по формуле:
(3.12)
6.Если этот шаг оказался удачным, т. е. R(x1)<R(a) то следующая точка определяется как
(3.13)
При R(x1)>R(a) (шаг неудачный)
7.Последующие шаги выполняются с уменьшающейся величи ной шага, которая для i-го шага будет равна
(3.15)
в соответствии со следующим правилом. Если при выполнении шага значение функции в точке
(3.16)
оказывается меньше, т. е. R(x(i+1))>R(x(i)) (шаг удачный), то следующий (i+ 1)-й шаг выполняется из точки
(3.17)
Указанный процесс продолжается до тех пор, пока не будут исчерпаны все числа Фибоначчи в убывающей последовательности
На рисунке 3.3 процедура такого поиска при N = 21 (s = 7), что отвечает точности поиска порядка 5%. На рисунке цифрами отмечена последовательность вычисления значений функции R(х). Видно, что в процессе поиска третий и пятый шаги оказываются неудачными, что вызывает изменение направления последующих шагов.
Можно показать, что алгоритм поиска с использованием чисел Фибоначчи в пределе с высокой точностью, совпадает с методом золотого сечения.
Рисунок 3.3- Одномерный поиск с использованием чисел Фибоначчи
3) Метод поочередного изменения переменных
Метод поочередного изменения переменных, называемый также методом Гаусса-Зейделя, по существу аналогичен рассмотренному выше методу релаксации. Отличие заключается лишь в том, что в этом методе не определяется осевое направление, вдоль которого значение целевой функции изменяется наиболее сильно, а поочередно изменяются все независимые переменные так, чтобы по каждой из них достигалось наименьшее (наибольшее) значение целевой функции. Очередность варьирования независимых переменных при этом устанавливается произвольно и обычно не меняется в процессе поиска. Заметим, что для двух независимых переменных оба метода поиска, т. е. метод релаксации и метод поочередного изменения переменных, совпадают.
Как и в методе релаксации, каждая уточняемая переменная варьируется до тех пор, пока в данном осевом направлении не будет найден минимум, после чего начинается процесс шагового поиска по следующему осевому направлению. Стратегия поиска минимума по каждой переменной при этом может быть также
любая. В частности, можно использовать один из описанных выше методов поиска экстремума функции одной переменной.
Очевидно, что поскольку варьирование независимых переменных происходит в установленном порядке, метод их поочередного изменения приводит к оптимуму более длинным путем. Однако общий объем вычислений по сравнению с методом релаксации в данном случае может оказаться меньше, так как при переходе, к уточнению следующей переменной производные целевой функции не вычисляются. Естественно, что недостатки метода релаксации, к которому относятся трудности поиска при наличии ограничений или особенностей целевой функции (овраги), целиком присущи и методу поочередного изменения переменных. Вместе с тем, простота метода и сравнительно небольшой объем вычислений, необходимых для его реализации, обусловили его распространение в системах автоматического отыскания экстремума.
) Метод сканирования.
Метод сканирования заключается в последовательном просмотре значений критерия оптимальности в ряде точек, принадлежащих области изменения независимых переменных, и нахождении среди этих точек такой, в которой критерий оптимальности имеет минимальное (максимальное) значение. Точность метода, естественно, определяется тем, насколько густо располагаются выбранные точки в допустимой области изменения независимых переменных.
Основным достоинством метода сканирования является то, что при его использовании с достаточно густым расположением исследуемых точек всегда гарантируется отыскание глобального оптимума, так как анализируется вся область изменения независимых переменных. Другое достоинство - независимость поиска от вида оптимизируемой функции.
К недостаткам метода относится, в первую очередь, необходимость вычисления значений целевой функции для большего числа точек. Это должно гарантировать, что оптимум не будет пропущен при применении данного метода поиска.
Общий недостаток градиентных методов в оптимизации, за исключением, может быть, метода тяжелого шарика, состоит в том, что все они застревают в ближайшем локальном оптимуме, 1 в область притяжения которого попадает выбранная начальная точка спуска. В отличие от этих методов метод сканирования ни-1 как не связан с наличием локальных оптимумов целевой фун